【manim动画教程】-- 坐标系

2023-04-10 00:04 由 wang_yb 发表于 #后端开发

没有引入坐标系之前，在绘制图形时，也有一个隐含的坐标系，它和屏幕的像素相关。

比如，我们之前示例中的各个图形，屏幕的中心就是坐标原点（[0, 0]）,
横轴坐标的范围大概是 [-3.5, 3.5]，纵轴的坐标范围大概是 [-4, 4]，这个范围与设置的视频分辨率有关，分辨率设置的越高的话，坐标范围越大。

不知是否还记得，之前的文章中绘制的线或者多边形（比如这个系列第7篇），都是在上面的坐标范围的。

# 范围内的线和多边形
l = Line([-1, 0, 0], [1, 0, 0])
self.play(Create(l), run_time=0.5)

p = Polygon([-3, 1, 0], [-1, 1, 0], [-2, -1, 0])
self.play(Create(p), run_time=0.5)

# 范围外的多边形，运行后会显示补全
p = Polygon([-4, 2, 0], [-1, 5, 0], [-2, -1, 0])
self.play(Create(p), run_time=0.5)

引入坐标系之后，绘制图形时就不用局限在屏幕隐含的坐标范围之内，
通过调整坐标的刻度，我们可以基于坐标系中绘制任意范围的图形，而不用担心绘制到屏幕之外去。

manim已经提供了从一维到三维的坐标系对象，下面一一介绍它们的基本使用方法。

1. 数轴

数轴（NumberLine）是最基本的一维坐标系，它的关键参数是：

x_range：设置数轴的范围和间隔
length：设置数轴显示的长度

NumberLine(x_range=[-10, 10, 2], length=10, include_numbers=True)
NumberLine(x_range=[-3, 3, 0.5], length=12, include_numbers=True)
NumberLine(
    x_range=[-5, 5 + 1, 1],
    length=6,
    include_numbers=True,
    include_tip=True,
    rotation=10 * DEGREES,
)

运行效果：

2. 平面坐标系

平面坐标系分为两类，实数平面和复数平面，两者的外形非常类似。

2.1 实数平面

实数平面（NumberPlane）的关键参数有4个：

x_range：设置X轴的范围和间隔
y_range：设置Y轴的范围和间隔
x_length：设置X轴显示的长度
y_length：设置Y轴显示的长度

NumberPlane(
    x_range=(-4, 11, 1),
    y_range=(-3, 3, 1),
    x_length=3,
    y_length=2,
)
NumberPlane(
    x_range=(-4, 11, 1),
    x_length=3,
    y_length=4,
)

运行效果：

2.2 复数平面

复数平面（ComplexPlane）是基于实数平面（NumberPlane）的，参数类似，
只是多了一些标记复数的信息。

plane = ComplexPlane().add_coordinates()
d1 = Dot(plane.n2p(2 + 1j), color=YELLOW)
d2 = Dot(plane.n2p(-3 - 2j), color=YELLOW)
label1 = Tex("2+i").next_to(d1, UR, 0.1)
label2 = Tex("-3-2i").next_to(d2, UR, 0.1)

运行效果：

3. 极坐标系

极坐标系（PolarPlane）通过角度和与原点的距离来定位位置，经常被用于导航类的系统中，
与直角坐标相比，在这类系统中能极大的简化计算。
它的关键参数有：

azimuth_step：分割的角度个数
size：极坐标在屏幕中显示的大小
radius_step：极坐标半径的间隔
radius_max：极坐标最大半径

plane = PolarPlane(
    azimuth_step=30,
    size=6,
    radius_step=1,
    radius_max=3,
).add_coordinates()

运行效果：

4. 笛卡尔坐标系

笛卡尔坐标系是最常用的坐标系，学习函数的图像时用的最多的就是此坐标系。

4.1 二维

二维的笛卡尔坐标系（Axes）使用的比较多，它在平面坐标系之上，又提供了更多的配置，
可以更加灵活的配置数轴，除了上面平面坐标系提到的那4个关键参数之外，
还有2个配置坐标轴的参数也很重要：

x_axis_config：配置X轴如何显示的参数
y_axis_config：配置Y轴如何显示的参数

比如下面的示例中，配置了与X轴不一样刻度的Y轴。

ax = Axes(
    x_range=[0, 10, 1],
    y_range=[-2, 6, 1],
    x_length=6,
    tips=False,
    axis_config={"include_numbers": True},
    y_axis_config={"scaling": LogBase(custom_labels=True)},
)

# x_min 必须 > 0，因为 x=0 时，y是负无穷
graph = ax.plot(lambda x: x**2, x_range=[0.001, 10], use_smoothing=False)

运行效果：

4.2 三维

三维的笛卡尔坐标系（ThreeDAxes）与二维坐标系的参数类似，只是多了一个维度（Z轴）的配置，
其配置参数与X轴和Y轴类似。
显示三维图形时，有2点需要额外注意，
一是场景要继承 ThreeDScene，二是要调整下默认的相机位置，也就是视角的位置，默认视角是从Z轴顶部向下看的。

# 默认的相机视角
class CoordinateSample(ThreeDScene):
    def construct(self):
        axes = ThreeDAxes(y_length=8)
    	circle = Circle(color=BLUE, radius=2)
        vg = VGroup(axes, circle)
        self.play(Create(vg), run_time=2)

        self.wait()

运行效果如下，很难看出是三维的坐标系统：

加入调整视角的代码后：

# 调整的相机视角
class CoordinateSample(ThreeDScene):
    def construct(self):
        axes = ThreeDAxes(y_length=8)
    	circle = Circle(color=BLUE, radius=2)
        vg = VGroup(axes, circle)
        # 调整相机视角的代码 phi是与Z轴之间的角度，theta是围绕Z轴旋转的角度
        self.set_camera_orientation(phi=75 * DEGREES, theta=30 * DEGREES)
        self.play(Create(vg), run_time=2)

        self.wait()

修改后运行效果：

5. 总结回顾

本篇主要介绍各类坐标系的基本使用方式和常用参数，从一维到三维主要有以下几种坐标系对象：

NumberLine：数轴
NumberPlane：实数平面
ComplexPlane：复数平面
PolarPlane：极坐标系
Axes：二维笛卡尔坐标系
ThreeDAxes：三维笛卡尔坐标系

制作函数相关的数学动画，或者物理定律相关的动画时，借助坐标系可以更清晰直观的的表达变换的规律。
本文关联的微信视频号短视频：