FHQ-Treap
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FHQ-Treap顾名思义就是范浩强大佬设计的一种二叉平衡树
下面我们来讲一下它的原理和代码
结构体
对于一个节点，我们需要记录的是
- 对应的值
- 子树节点数
- 左右孩子编号
- 对应的随机值
struct str{
int val,size,l,r,key;
}fhq[100005];
看到这里有人疑惑了，这个对应的随机值是怎么回事啊？
这里就涉及到了一个FHQ-Treap里优化的一个小技巧
我们知道，树在最坏的情况下，会退化成一条链
但很显然，出于时间复杂度上来讲，我们并不希望它成为一条链，因为我们的遍历是按照一层一层来遍历的，如果退化成一条链就会从最优O（log n）的复杂度直接降到O( n )，所以我们就用这个随机的值去让这个二叉树变得平衡，具体怎么去使用这个随机值的请看函数merge
函数
首先，先给大家把主要使用的函数列出来，然后我们再一个一个讲
void update(int x)
void split(int now,int dat,int &x,int &y)
int merge(int x,int y)
int add(int dat)
void ins(int dat)
void del(int dat)
int get_rk(int dat)
int get_num(int dat)
void get_pre(int dat)
void get_next(int dat)
看起来是不是很让人头晕眼花？
我们把函数要具体实现什么注释一下：
void update(int x)//更新数据
void split(int now,int dat,int &x,int &y)//分裂
int merge(int x,int y)//合并
int add(int dat)//在树里添加节点（实际的操作）
void ins(int dat)//节点进树（与上一个要区分开，这个只是一个输入的对接）
void del(int dat)//节点出树
int get_rk(int dat)//求dat数的排名
int get_num(int dat)//求排dat名的数
void get_pre(int dat)//求前驱
void get_next(int dat)//求后继
铺垫的差不多了，是时候开始讲了
update
update函数十分简单，主要要求实现的是更新该节点的子树长度，因为我们会在树上进行其他的修改操作，长度很可能会随之变化，所以这个函数一定是要放在第一位写的
void update(int x){//要更新x节点
fhq[x].size=fhq[fhq[x].l].size+fhq[fhq[x].r].size+1;
//子树节点数=左子树节点数+右子树节点数+本身；
return ;
}
split
这个函数是FHQ-Treap的重点之一，主要实现的是把一棵树拆成两棵树方便后续操作，我们先解释一下这里的参数都是什么意思
void split(int now,int dat,int &x,int &y)
//now表示现在遍历到了哪个节点，dat是要从哪里拆开这棵树，x和y是拆后两颗树的根节点
因为x和y的值在函数里会被不停地更新，所以我们这里的&x，&y就尤为重要
第一步，根据二叉搜索树，找到从哪里分成两半
if(dat<fhq[now].val)//如果小，那就在now的左子树里
{
y=now;//把y的值更新，缩小范围
split(fhq[now].l,dat,x,fhq[now].l);
}else{//如果不小，那就在now的右子树里
x=now;//把x的值更新，缩小范围
split(fhq[now].r,dat,fhq[now].r,y);
}
（如果看不懂的话可以自己画个图理解一下，本人能力有限，不会做动图）
最后，我们就会把分裂出来的两棵树的根节点求出来
你以为这样就完了吗？还要注意几个细节：
递归跳出：
if(now==0){
x=y=0;
return ;
}
还有！你已经修改了这棵树了，别忘了更新！！！
update(now);
merge
来到第二个重点，也是有很多人包括刚学的我非常不理解的地方————合并函数
还是先解释参数
int merge(int x,int y)//将以x为根的树和以y为根的树合并
它到底是怎么用这些随机值来保持平衡的呢？
我们来看一个问题：现在你有两棵二叉搜索树，并且告诉你一棵树的根节点x一定比另一颗树的根节点y要小，请问你能怎么组合？
聪明的你肯定会想到两种情况：
第一种是把x插进y的左子树里，第二种是把y插进x的右子树里
如果把这个问题交给聪明的你的话，你一定会选择尽可能平衡的一种做法来合并，但很可惜，计算机并没有你那么聪明的脑子，它只会机械的执行一种操作，而这种操作执行下去就会逐渐变成一条链，怎么办呢？
这时候我们的随机值就发挥出用场了，当面对于这样的两难抉择中，它就不会再去考虑x和y的值，不会去考虑这棵二叉平衡树（因为很显然，前者没必要，给你的时候就知道x小y大，后者不用管，因为怎样操作都是一棵二叉平衡树），而是去维护堆
注意！我在这里是维护的小根堆！
如果我们x的key要小于y的key的话，根据小根堆我们就要把它合并到y的左子树中
如果我们y的key要小于x的key的话，根据小根堆我们就要把它合并到x的右子树中
（强迫症满意地笑了）
这样，我们就通过这些小小的随机值完美的解决了这个难题，维护了二叉搜索树的平衡
代码如下
if(fhq[x].key<=fhq[y].key){
fhq[x].r=merge(fhq[x].r,y);//y插进x的右子树
update(x);//别忘更新！我爱更新！警钟长鸣！这个代码第一次的bug就是忘更新了
return x;//返回的是合并后的根节点
}else{
fhq[y].l=merge(x,fhq[y].l);//x插进y的左子树
update(y);//别忘更新！我爱更新！
return y;
}
别忘了递归的跳出~
if(x==0||y==0) return x+y;
add
这个函数相较于上两个来说就简单了
还是参数
int add(int dat)//添加一个值为dat的节点，返回该节点下标
我们只需要给它进行以下操作
fhq[++cnt].size=1;//cnt是这棵树的总节点数
fhq[cnt].key=rand(); //取随机值
fhq[cnt].val=dat;
return cnt;
OK力~
ins
解释参数
void ins(int dat)//插入一个dat进树
这里就很好玩了，我们的操作是这样
先通过dat值把这棵树劈成两半，此时一半<=dat，一半>dat
split(root,dat,x,y);//root是这棵树的根
传回来了两棵树的根节点后，我们把这个节点先悄悄的加进树里，此时相当于有三棵树存在
z=add(dat);
然后呢，我们要当老六，把这三棵树再组成一棵树
root=merge(merge(x,z),y);
这样，我们的添加节点操作就不可思议而且妙不可言的完成了！
del
与上一个函数相反，这个函数是删除操作
void del(int dat)//删除值为dat的一个节点
这个操作也很妙，集中注意力
我们先通过dat值把这棵树劈成两半，此时一半<=dat，一半>dat
split(root,dat,x,y);
然后和上面的思想差不多，我们再从<=dat的左树中再劈成两半，一半是=dat的节点，一半是其他节点
split(x,dat-1,x,z);//从左树根节点开始通过dat-1把左树劈成一半<=dat-1,一半=dat
然后呢，我们再把这个左树中的其他节点与右树一合并，一个dat就自然而然的被排挤出去了！
z=merge(fhq[z].l,fhq[z].r);//这里是重点！！！我们只需要删除一个dat而剩下的dat还是要再加回树里的！
root=merge(merge(x,z),y);//三块合并
这样这个操作也完成啦~
get_rk
这个函数是用来求值为dat的数的排名的
操作比上两个还要简单，我们通过dat值把这棵树劈成两半，此时一半<=dat，一半>dat，然后我们直接把左子树的节点数+1就是dat数的排名了~
split(root,dat-1,x,y);
int ans=fhq[x].size+1;
merge(x,y);//分裂完别忘了合并！
return ans;
get_num
这个函数的作用是求排名为dat的数值是多少
还是分类讨论的思想，我们发现这个排dat名的数要么在当前节点的左子树上，要么在当前节点的右子树上，要么就是当前节点，然后我们就可以写一个递归或循环来解决问题了（本人懒得写递归了，如果有递归强迫症可以自己写一下）
int now=root;//当前遍历到了哪个节点
while(now){
if(fhq[fhq[now].l].size+1==dat){//就是当前节点
break;
}
else if(fhq[fhq[now].l].size>=dat)now=fhq[now].l;//在左子树里
else{//在右子树里
dat-=fhq[fhq[now].l].size+1;//注意！右子树比左子树都要大！所以求的时候一定要把左子树节点数减掉！
now=fhq[now].r;
}
}
return fhq[now].val;//华丽返回~
这样就又ok了
get_pre
一个求dat前驱的函数，操作起来也很妙
我们先通过dat-1把这棵树劈成两半，此时一半<dat，一半>=dat
然后我们就会发现，左子树中最大的那一个，就是dat的前驱
理解了意思，函数就好写了
split(root,dat-1,x,y);
int now=x;
while(fhq[now].r) now=fhq[now].r;//找左子树中最大的那一个，一定是最右的节点
cout<<fhq[now].val<<endl;
root = merge(x,y);//分裂完千万别忘了合并！
get_next
与上面的思想相同，但是这回我们要在右子树中找这个值：
我们先通过dat把这棵树劈成两半，此时一半<=dat，一半>dat
然后我们就会发现，右子树中最大的那一个，就是dat的后继
split(root,dat,x,y);
int now=y;
while(fhq[now].l) now=fhq[now].l;//找右子树中最小的那一个，一定是最左的节点
cout<<fhq[now].val<<endl;
root=merge(x, y);
实现
这样，我们就把所有的函数都捋了一遍，主函数也就好写了，以下是完整的AC代码
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<random>//这个里面有rand函数，必须写！
using namespace std;
int n;
int cnt;
int root;
struct str{
int val,key,size,l,r;
}fhq[100005];
void update(int x){
fhq[x].size=fhq[fhq[x].l].size+fhq[fhq[x].r].size+1;
return ;
}
void split(int now,int dat,int &x,int &y){//分裂
if(now==0){
x=y=0;
return ;
}
if(dat<fhq[now].val)
{
y=now;
split(fhq[now].l,dat,x,fhq[now].l);
}else{
x=now;
split(fhq[now].r,dat,fhq[now].r,y);
}
update(now);
}
int merge(int x,int y){//合并，返回合并后的根
if(x==0||y==0) return x+y;
if(fhq[x].key<=fhq[y].key){
fhq[x].r=merge(fhq[x].r,y);
update(x);
return x;
}else{
fhq[y].l=merge(x,fhq[y].l);
update(y);
return y;
}
}
int add(int dat){//增加结点
fhq[++cnt].size=1;
fhq[cnt].key=rand();
fhq[cnt].val=dat;
return cnt;
}
void ins(int dat){//结点进树
int x,y,z;
split(root,dat,x,y);
z=add(dat);
root=merge(merge(x,z),y);
return ;
}
void del(int dat){//结点出树
int x,y,z;
split(root,dat,x,y);
split(x,dat-1,x,z);
z=merge(fhq[z].l,fhq[z].r);
root=merge(merge(x,z),y);
}
int get_rk(int dat){//求dat数的排名
int x,y,z;
split(root,dat-1,x,y);
int ans=fhq[x].size+1;
merge(x,y);
return ans;
}
int get_num(int dat){//求排dat名的数
int now=root;
while(now){
if(fhq[fhq[now].l].size+1==dat){
break;
}
else if(fhq[fhq[now].l].size>=dat)now=fhq[now].l;
else{
dat-=fhq[fhq[now].l].size+1;
now=fhq[now].r;
}
}
return fhq[now].val;
}
void get_pre(int dat){//求前驱
int x,y,z;
split(root,dat-1,x,y);
int now=x;
while(fhq[now].r) now=fhq[now].r;
cout<<fhq[now].val<<endl;
root = merge(x,y);
}
void get_next(int dat){//求后继
int x,y,z;
split(root,dat,x,y);
int now=y;
while(fhq[now].l) now=fhq[now].l;
cout<<fhq[now].val<<endl;
root=merge(x, y);
}
int main(){
cin>>n;
while(n--){
int opt,x;
cin>>opt>>x;
if(opt==1) ins(x);
else if(opt==2) del(x);
else if(opt==3) cout<<get_rk(x)<<endl;
else if(opt==4) cout<<get_num(x)<<endl;
else if(opt==5) get_pre(x);
else get_next(x);
}
return 0;
}
好了，看到这里，想必你已经掌握了FHQ-Treap了，我们在下一个平衡树相见吧！