逆序对的数量
一、原题链接
二、题目描述
给定一个长度为 \(n\) 的整数数列，请你计算数列中的逆序对的数量。
逆序对的定义如下：对于数列的第 \(i\) 个和第 \(j\) 个元素，如果满足 \(i < j\) 且 \(a[i] > a[j]\)，则其为一个逆序对；否则不是。
输入格式
第一行包含整数 \(n\)，表示数列的长度。
第二行包含 \(n\) 个整数，表示整个数列。
输出格式
输出一个整数，表示逆序对的个数。
数据范围
\(1 ≤ n ≤ 100000，\)
数列中的元素的取值范围 \([1, 10^9]\)。
输入样例：
6
2 3 4 5 6 1
输出样例：
5
三、算法思路
本题基于归并排序的过程。
思路如下：
-
先将区间分为两段
-
满足逆序对条件的两个点有如下三种情况：
- 两个点都在左区间
- 两个点都在右区间
- 一个点在左边区间，一个点在右边区间
-
不断的递归排序的过程中，上述 \(1、2\) 情况都会转化为 \(3\) 的情况，所以答案直接加上左区间排序和右区间排序即可
-
由于归并之后两个区间都是有序的，所以如果当前左区间的数大于当前右区间的数，则左区间剩下的所有数都大于当前右区间的数，即满足逆序对的条件，
res += mid - i + 1;
- 如果直接暴力解题，从后往前遍历，时间复杂度\(O(n^2)\)，采用归并排序解题时间复杂度为\(O(nlogn)\)。
- 注意思考上述三种情况，在不断划分区间的过程中，最后都会转化为第三种情况。
- 数据量很大可能会爆
int，所以用long long来存答案。
四、源代码
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
typedef long long LL;
int n;
int a[N];
int tmp[N];
LL merge_sort(int a[], int l, int r)
{
if (l >= r) return 0;
int mid = (l + r) >> 1;
LL res = merge_sort(a, l, mid) + merge_sort(a, mid + 1, r);
int k = 0, i = l, j = mid + 1;
while (i <= mid && j <= r)
if (a[i] <= a[j]) tmp[k ++ ] = a[i ++ ];
else res += mid - i + 1, tmp[k ++ ] = a[j ++ ];
while (i <= mid) tmp[k ++ ] = a[i ++ ];
while (j <= r) tmp[k ++ ] = a[j ++ ];
for (int i = l, j = 0; i <= r; ++i, ++j) a[i] = tmp[j];
return res;
}
int main()
{
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> a[i];
cout << merge_sort(a, 0, n - 1) << endl;
return 0;
}