素数与第素数个素数的和能生成$10^8$内的所有偶数
加性组合中，两个集合 \(A\)、\(B\) 的加法集或和集 \(A+B\) 定义为\(A\)中任意元素 \(a_i\) 与 \(B\) 中任意元素 \(b_j\) 之和 \(a_i+b_j\) 构成的集合，用 \(|A|\) 表示集合 \(A\) 中元素的数量，当 \(A\)、\(B\) 都不为空集时（$ |A|\cdot|B|>0$），有不等式
\(n\)以内素数的数量 \(|P(n)|\simeq\frac{n}{\log n}\)，根据哥德巴赫猜想，所有4以上的偶数都可表示为两个素数之和，这至少意味着素数集和集的元素数量 \(|P+P|\simeq n\)。事实上这是一个比较宽松的猜想，即使取素数集中的一个子集就有可能覆盖所有偶数，例如根据杜伯纳猜想，所有4208以上的偶数都能表示成两个孪生素数之和，这意味着\(n\)以内孪生素数的数量至少达到了\(\sqrt{n}\)。
那么，能不能用整个素数集与另一个更小的集合求和集，来覆盖偶数集呢？最优情况是选一个 \(n\) 以内元素数量只有 \(\log n\) 的集合（类似等比数列），使得达到和集元素数量的理论上限。但经过部分程序验证，单独的等比数列 \(a_{i+1}=a_iq\) 和类等比递推数列 \(a_{i+1}=a_iq+d\) 是不行的，也许几个等比数列的组合可以，待继续验证。
在探究过程中，一个新的发现是素数集
P=[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43...]
和第素数个素数构成的集合
PP=[3, 5, 11, 17, 31, 41, 59, 67, 83, 109, 127, ...]
的和集 \(P+PP\) 可生成 \([6,10^8]\) 的全部偶数，更大范围由于本人的电脑原因尚未验证。感觉这个发现比较有价值，特发出来让大家一起讨论。
本人编程所用的Python代码如下：
from time import time
def getPrimeSet_List_isPrime(n=10**6):
"""
同时生成n以内的素数集合方便查找、isPrime数组方便o(1)查找、primeList方便遍历
"""
n=max(2,n+1)
isPrime=[True]*n
isPrime[0]=False
isPrime[1]=False
for i in range(1,n,1):
if isPrime[i]:
for j in range(i*i,n,i):
isPrime[j]=False
primeList=[i for i in range(n) if isPrime[i]]
primeSet=set(primeList)
return primeSet,primeList,isPrime
def 素数集与第素数个素数的和集能否覆盖n以内所有奇数或偶数(n=10**3,idxOffset=-1):
"""
验证素数集与第素数个素数的和集能覆盖多少奇数、偶数
n idxOffset 奇数未覆盖率 偶数未覆盖率
10^4 0 1 0.0008 [2, 4, 6, 70]
10^5 8e-5 ...
10^6 8e-6 ...
10^5 -1(从primeList[2-1]=3)开始 [2,4]
10^6 ... ..
"""
startTime=time()
primeSet,primeList,isPrime=getPrimeSet_List_isPrime(n)
print(f"{n=},{idxOffset=}")
print(f"primeList={primeList[:50]}")
pprimes=[primeList[i+idxOffset] for i in primeList if i+idxOffset<len(primeList)]
print(f"primeprimeList={pprimes[:50]}")
isCovered=[False]*(n+1)
for i in primeList[1:]:
for j in primeList:
if j+idxOffset>=len(primeList) or i+primeList[j+idxOffset]>n:
break
isCovered[i+primeList[j+idxOffset]]=True
uncoverdOddNums=[i for i in range(1,n,2) if isCovered[i]==False]
uncoverdEvenNums=[i for i in range(2,n,2) if isCovered[i]==False]
print(f"未覆盖偶数:{uncoverdEvenNums[:50]}...{uncoverdEvenNums[-50:]}")
print(f"奇数未覆盖率{len(uncoverdOddNums)*2/n},偶数未覆盖率{len(uncoverdEvenNums)*2/n}")
print(f"运行时间{time()-startTime}s")
return uncoverdOddNums,uncoverdEvenNums
if __name__=="__main__":
素数集与第素数个素数的和集能否覆盖n以内所有奇数或偶数()
程序采用双重循环暴力遍历，时间复杂度约为\(O\left(\frac{n^2}{(\log n)^3}\right)\)，验证到 \(n=10^6\) 时程序运行时间已达4分钟，后来改用了C++程序验证，效率得以百倍提升，分别在5分钟、几小时内检查完了 \(n=10^7\)、\(10^8\) 内的全部偶数。移植到C++后的代码如下：
#include<vector>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
using ull=unsigned long long;
void printVector(vector<ull>&arr,ull startIdx=0,ull maxLen=50){
cout<<"{";
for(ull i=fmax(0,startIdx);i<fmin(arr.size(),startIdx+maxLen);i++){
cout<<arr[i]<<",";
}
cout<<"};"<<endl;
return;
}
vector<ull>genePrimeList(ull n=10e+6){
n++;
vector<bool>isPrime(n,true);
vector<ull>primeList;
for(ull i=2;i<n;i++){
if(isPrime[i]){
primeList.emplace_back(i);
for(ull j=i*i;j<n;j+=i){
isPrime[j]=false;
}
}
}
return primeList;
}
vector<ull>primesAndPrimeOfPrimeIndexCoverEvenNumber(ull n=1e+6,int indexOffset=-1){
/**
n是查找范围上限
indexOffset调整第素数个素数的索引，使变成第(素数+indexOffset)个素数
10^7内，只有【2,4】未被覆盖
*/
cout<<"n="<<n<<",indexOffset="<<indexOffset<<endl;
vector<bool>isCovered(n+1,false);
vector<ull>primeList=genePrimeList(n),pprimes;
cout<<"primeList="<<endl;
printVector(primeList);
ull pn=primeList.size();
ull val;
for(ull i=1;i<pn;i++){
for(auto idx:primeList){
val=primeList[i]+primeList[idx+indexOffset];
if(idx+indexOffset>=pn || val>n){
break;
}
isCovered[val]=true;
}
}
vector<ull>uncoveredEvenNumber;
for(ull i=2;i<=n;i+=2){
if(isCovered[i]==false){
uncoveredEvenNumber.emplace_back(i);
}
}
cout<<"uncoveredEvenNumber head="<<endl;
printVector(uncoveredEvenNumber);
cout<<"uncoveredEvenNumber end="<<endl;
printVector(uncoveredEvenNumber,uncoveredEvenNumber.size()-50);
return uncoveredEvenNumber;
}
int main(){
int n=1e+8;
primesAndPrimeOfPrimeIndexCoverEvenNumber(n);
return 0;
}
由于电脑性能与算法复杂度原因，个人验证更大的偶数已经不太方便了，希望大家讨论一下有没有时间复杂度更低的算法，或者用更好的电脑帮忙验证一下对于 \(10^8\) 以上的大偶数，这个猜想（每个 \(4\) 以上的偶数可以表示为一个素数和一个“第素数个素数”之和）是否仍正确。
也许这个猜想已经有人以前说过了，有知道的的话麻烦说一下；这个猜想表述如此简单，被前人讨论过的几率还是挺大的。
即使最终被验证在更大范围内不正确，也已经是个有趣的巧合了。