「代码随想录算法训练营」第五十天 | 图论 part8
拓扑排序
拓扑排序概括来说就是给出一个有向无环图，把这个有向无环图转成线性的排序，就叫拓扑排序。
使用广度优先搜索（BFS）即可。
如上图，当我们做拓扑排序的时候，优先找入度为0的节点，只有入度为0，它才是出发节点。
拓扑排序的过程：
- 找到入度为0的节点，加入结果集。
- 将该节点从图中移除。
循环以上两步，直到所有节点都在图中被移除了。
结果集的顺序，就是我们想要的拓扑排序顺序（结果集里顺序可能不唯一）
模拟过程：
判断有环：
这个图，我们只能将入度为0的节点0接入结果集。
之后，节点1、2、3、4形成了环，找不到入度为0的节点了，所以此时结果集里只有一个元素。
那么如果我们发现结果集元素个数不等于图中节点个数，我们就可以认定图中一定有有向环！
题目：117. 软件构建
题目链接：https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1191
文章讲解：https://www.programmercarl.com/kamacoder/0117.软件构建.html
题目状态：看题解
思路：
使用拓扑排序。
代码：
#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <unordered_map>
using namespace std;
int main()
{
int m, n, s, t;
cin >> n >> m;
vector<int> isDegree(n, 0); // 记录每个文件的入度
unordered_map<int, vector<int>> umap; // 记录文件依赖关系
vector<int> result; // 结果集
while(m--)
{
// s->t，先有s才能有t
cin >> s >> t;
isDegree[t]++; // t的入度加一
umap[s].push_back(t); // 记录s指向哪些文件
}
queue<int> que;
for(int i = 0; i < n; ++i)
{
// 入度为0的文件，可以作为开头，先加入队列
if(isDegree[i] == 0) que.push(i);
}
while(que.size())
{
int cur = que.front(); // 当前选中的文件
que.pop();
result.push_back(cur);
vector<int> files = umap[cur]; // 获取该文件指向的文件
if(files.size()) // cur有后续文件
{
for(int i = 0; i < files.size(); ++i)
{
isDegree[files[i]]--; // cur的指向的文件入度-1
if(isDegree[files[i]] == 0) que.push(files[i]);
}
}
}
if(result.size() == n)
{
for(int i = 0; i < n - 1; ++i) cout << result[i] << " ";
cout << result[n - 1];
}
else
cout << -1 << endl;
return 0;
}
dijkstra（朴素版）
dijkstra算法：在有权图（权值非负数）中求从起点到其他节点的最短路径算法。
需要注意两点：
- dijkstra算法可以同时求起点到所有节点的最短路径。
- 权值不能为负数。
dijkstra算法和prim算法的计算过程非常类似：
- 第一步，选源点到哪个节点近且该节点未被访问过
- 第二步，该最近节点被标记访问过
- 第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
其中minDist数组用来记录每一个节点距离源点的最小距离。
模拟过程：
题目：47. 参加科学大会
题目链接：https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1047
文章讲解：https://www.programmercarl.com/kamacoder/0047.参会dijkstra朴素.html
题目状态：看题解
思路：
dijkstra算法。
代码：
#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>
using namespace std;
int main()
{
int n, m, p1, p2, val;
cin >> n >> m;
vector<vector<int>> grid(n + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));
for(int i = 0; i < m; ++i)
{
cin >> p1 >> p2 >> val;
grid[p1][p2] = val;
}
int start = 1;
int end = n;
// 存储从源点到每个节点的最短距离
vector<int> minDist(n + 1, INT_MAX);
// 记录顶点是否被访问过
vector<bool> visited(n + 1, false);
minDist[start] = 0; // 起始点到自身的距离为0
// 初始化路径数组
vector<int> parent(n + 1, -1);
// 遍历所有节点
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
int minVal = INT_MAX;
int cur = 1;
// 1.选距离源点最近且未访问过的节点
for(int v = 1; v <= n; ++v)
{
if(!visited[v] && minDist[v] < minVal)
{
minVal = minDist[v];
cur = v;
}
}
// 2.标记该节点已被访问
visited[cur] = true;
// 3.更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
for(int v = 1; v <= n; ++v)
{
if(!visited[v] && grid[cur][v] != INT_MAX && minDist[cur] + grid[cur][v] < minDist[v])
{
minDist[v] = minDist[cur] + grid[cur][v];
parent[v] = cur; // 记录边
}
}
}
// 不能到达终点
if(minDist[end] == INT_MAX) cout << -1 << endl;
// 到达终点最短路径
else cout << minDist[end] << endl;
// 输出最短情况
for(int i = 1; i <= n; ++i) cout << parent[i] << "->" << i << endl;
return 0;
}
dijkstra算法和prim算法的区别
- prim是求非访问节点到最小生成树的最小距离。
- dijkstra是求非访问节点到源点的最小距离。
dijkstra（堆优化版）
上一节的dijkstra算法是从节点的角度来遍历的，这一节的dijkstra算法我们从边的角度来遍历分析，且采用邻接表来存储图。邻接表表示一个有向有权图如下：
其中：
- 节点1指向节点3，权值为1
- 节点1指向节点5，权值为2
- 节点2指向节点4，权值为7
- 节点2指向节点3，权值为6
- 节点2指向节点5，权值为3
- 节点3指向节点4，权值为3
- 节点5指向节点1，权值为10
dijkstra算法思路三部曲：
- 第一步，选源点到哪个节点近且该节点未被访问过
- 第二步，该最近节点被标记访问过
- 第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
其中第一步我们要选择距离源点近的节点（即：该边的权值最小），所以我们需要一个小顶堆来帮我们对边的权值排序，每次从小顶堆堆顶去边就是权值最小的边。
因此在堆优化版本的dijkstra算法的三部曲中：
- 第一步：不用for循环去遍历，直接取堆顶元素
- 第二步：将节点做访问标记
- 第三步：和朴素dijkstra算法一样
题目：47. 参加科学大会
题目链接：https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1047
文章讲解：https://www.programmercarl.com/kamacoder/0047.参会dijkstra朴素.html
题目状态：看题解
思路：
使用堆优化版本的dijkstra算法。
代码：
#include <iostream>
#include <vector>
#include <list>
#include <queue>
#include <climits>
using namespace std;
// 小顶堆
class mycomparison
{
public:
bool operator()(const pair<int, int> &lhs, const pair<int, int> &rhs)
{
return lhs.second > rhs.second;
}
};
// 定义一个结构体来表示带权重的边
struct Edge
{
int to; // 邻接顶点
int val; // 边的权重
Edge(int t, int w): to(t), val(w) {} // 构造函数
};
int main()
{
int n, m, p1, p2, val;
cin >> n >> m;
vector<list<Edge>> grid(n + 1);
for(int i = 0; i < m; ++i)
{
cin >> p1 >> p2 >> val;
// p1指向p2，权值为val
grid[p1].push_back(Edge(p2, val));
}
int start = 1; // 起点
int end = n; // 终点
// 存储从源点到每个节点的最短距离
vector<int> minDist(n + 1, INT_MAX);
// 记录顶点是否被访问过
vector<bool> visited(n + 1, false);
// 优先级队列中存放pair<节点, 源点到该节点的权值>
priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, mycomparison> pq;
// 初始化队列，源点到源点的距离为0，所以初始为0
pq.push(pair<int, int>(start, 0));
// 起始点到自身的距离为0
minDist[start] = 0;
while(!pq.empty())
{
// 1.第一步，选源点到哪个节点近且该节点未被访问过（通过优先级队列来实现）
// <节点, 源点到该节点的距离>
pair<int, int> cur = pq.top();
pq.pop();
if(visited[cur.first]) continue;
// 2.第二步，该最近节点被标记访问过
visited[cur.first] = true;
// 3.第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
for(Edge &edge : grid[cur.first])
{
// 遍历cur指向的节点，cur指向的节点为edge
// cur指向的节点edge.to，这条边的权值为edge.val
if(!visited[edge.to] && minDist[cur.first] + edge.val < minDist[edge.to])
{
// 更新minDist
minDist[edge.to] = minDist[cur.first] + edge.val;
pq.push(pair<int, int>(edge.to, minDist[edge.to]));
}
}
}
// 不能到达终点
if(minDist[end] == INT_MAX) cout << -1 << endl;
// 到达终点最短路径
else cout << minDist[end] << endl;
}