【调制解调】DSB 双边带调幅

2023-07-11 07:54 由木三百川发表于 #后端开发

说明

学习数字信号处理算法时整理的学习笔记。同系列文章目录可见《DSP 学习之路》目录，代码已上传到 Github - ModulationAndDemodulation。本篇介绍 DSB 双边带调幅信号的调制与解调，内附全套 MATLAB 代码。

1. DSB 调制算法

1.1 算法描述

在 AM 调幅信号中，载波分量并不携带信息，信息完全由边带传送。如果在 AM 调制模型中将直流 \(A_0\) 去掉，即可得到一种高调制效率的调制方式——抑制载波双边带信号（DSB - SC, Double Side Band with Suppressed Carrier），简称双边带信号（DSB），其时域表达式为：

\[s_{DSB}(t)=m(t)cos{\omega_ct} \tag{1} \]

式中：\(m(t)\) 是调制信号（携带要发出去的信息），它可以是确知信号，也可以是随机信号，其均值通常为 0；\(cos{\omega_ct}\) 是载波，\(\omega_c\) 是载波角频率，与载波频率 \(f_c\) 之间的关系为 \(\omega_c=2{\pi}f_c\)。DSB 的频谱与 AM 频谱相近，只是没有了在 \(\pm\omega_c\) 处的 \(\delta\) 函数，对式 \((1)\) 进行傅里叶变换，得到 DSB 信号的频谱（幅度谱）表达式：

\[S_{DSB}(\omega)=\frac{1}{2}\left[M(\omega+\omega_c)+M(\omega-\omega_c)\right] \tag{2} \]

式中，\(M(\omega)\) 是调制信号 \(m(t)\) 的频谱。DSB 信号的特性如下：

DSB 信号的频谱由上边带与下边带两部分组成，不存在载波分量，它的带宽仍是基带信号（调制信号）带宽 \(f_H\) 的 2 倍，即 \(B_{DSB}=2f_{H}\)，与 AM 信号带宽相同。
由于不存在载波分量，有用功率 \(P_s\) 就是信号总功率 \(P_{DSB}\)，即 \(P_s=P_{DSB}\)，全部功率都用于信息传输，调制效率 \({\eta_{DSB}}=100\%\)。

1.2 DSB 信号调制示例

调制信号 \(m(t)\) 可以是确知信号，也可以是随机信号。当 \(m(t)\) 是确知信号时，不妨假设 \(m(t)\) 的时域表达式如下：

\[m(t) = sin(2{\pi}{f_m}t)+cos({\pi}{f_m}t) \tag{3} \]

各调制参数取值：\(f_m=2500Hz\)，\(f_c=20000Hz\)。信号采样率 \(f_s=8{f_c}\)，仿真总时长为 \(2s\)。DSB 调制效果如下图所示（为了美观，时域只显示前 500 个点），调制信号 \(m(t)\) 双边幅度谱有四根离散谱线（\({\pm}2500Hz\)、\({\pm}1250Hz\)），载波 \(c(t)\) 的双边幅度谱有两根离散谱线（\({\pm}20000Hz\)），DSB 信号有八根离散谱线（\(\pm17500Hz\)、\(\pm18750Hz\)、\(\pm21250Hz\)、\(\pm22500Hz\)），代码详见附录 main_modDSB_example.m 与 mod_dsb.m。

2. DSB 解调算法

解调是调制的逆过程，其作用是从接收的已调信号中恢复原基带信号（即调制信号）。DSB 信号的包络不再与调制信号 \(m(t)\) 的变化规律一致，因而不能采用简单的包络检波来恢复调制信号，通常采用相干解调的方法来进行解调。另一种方法是，插入很强的载波，使其成为或近似为 AM 信号，则可利用包络检波器恢复调制信号，这种方法被称为插入载波包络检波法，为了保证检波质量，插入的载波振幅应远大于信号的振幅，同时也要求插入的载波与调制载波同频同相。下面介绍三种解调方法并对 1.2 节中的 DSB 信号进行解调。

2.1 插入载波包络检波法

插入幅值为 \(A_0\) 的载波，得到：

\[s_{DSB}(t)+{A_0}cos{\omega_ct}=\left[A_0+m(t)\right]cos{\omega_ct} \tag{4} \]

其中 \(A_0 \geq {\lvert}{m(t)}{\rvert}_{max}\)，这样就得到了一个 AM 信号，使用 AM 解调器进行解调即可，步骤如下：

第一步：加上载波 \({A_0}cos{\omega_ct}\)，其中 \(A_0 \geq {\lvert}{m(t)}{\rvert}_{max}\)，获得 AM 信号。
第二步：使用 AM 解调器进行解调。

对 1.2 节中的 DSB 信号，设定信噪比 \(SNR=50dB\)，解调效果如下，计算误差，有：\(\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i)-\hat{m}(t_i){\rvert}^2}}/\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i){\rvert}^2}}\approx0.0022\)。更改插入载波的初始相位为 \({\phi_0}=\pi/4,\pi/2\)，或者更改插入载波的中心频率为 \(0.8f_c,1.2f_c\) 后，解调效果变差，说明这种方法对插入载波同频同相的要求较高。

代码详见 demod_dsb_method1.m 和 main_demodDSB_example1.m。AM 解调器详见本人同系列博客【调制解调】AM 调幅。

2.2 相干解调（同步检测）

将 DSB 信号与同频同相的相干载波相乘，得到：

\[\begin{aligned} s_{DSB}(t){\cdot}cos{(\omega_ct)}&=m(t)cos{(\omega_ct)}{\cdot}cos{(\omega_ct)}\\[1em] &=\frac{1}{2}m(t)+\frac{1}{2}m(t)cos(2\omega_ct) \end{aligned} \tag{5} \]

然后通过一个低通滤波器即可获得解调结果，步骤如下：

第一步：乘以相干载波（即乘以 \(2cos({\omega_ct}+{\phi_0})\)，前面的 2 被用来做幅度补偿。
第二步：低通滤波器滤除高频载波，滤除 \(2{\omega}_c\)。

对 1.2 节中的 DSB 信号，设定信噪比 \(SNR=50dB\)，解调效果如下，计算误差，有：\(\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i)-\hat{m}(t_i){\rvert}^2}}/\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i){\rvert}^2}}\approx0.0016\)。更改相干载波的初始相位为 \({\phi_0}=\pi/4,\pi/2\) 后，解调幅值发生失真，当与真实相位相差 \(\pi/2\) 时幅值失真最大；但更改相干载波的中心频率为 \(0.8f_c,1.2f_c\) 后，解调效果变得很差，波形完全失真，说明这种方法对相干载波同频同相的要求也较高。

代码详见 lpf_filter.m、demod_dsb_method2.m 和 main_demodDSB_example2.m。

2.3 数字正交解调

DSB 数字正交解调一般有以下两个步骤，它与相干解调（同步检测）法是等效的：

第一步：乘以正交相干载波得到 \({s_I}(t)\) 与 \({s_Q}(t)\)，即 \({s_I}(t)=2s(t)cos({\omega_ct}+{\phi_0})\)，\({s_Q}(t)=-2s(t)sin({\omega_ct}+{\phi_0})\)，前面的 2 被用来做幅度补偿。
第二步：低通滤波器滤除 \({s_I}(t)\) 与 \({s_Q}(t)\) 中的高频分量，所得的 \(s_I(t)\) 即为解调结果。

代码详见 lpf_filter.m、demod_dsb_method3.m 和 main_demodDSB_example3.m。

3. DSB 仿真（MATLAB Communications Toolbox）

MATLAB 的 Communications Toolbox 中提供了 AM 调制函数 ammod，高斯白噪声函数 awgn，以及 AM 解调函数 amdemod，可以很方便地完成 DSB 信号仿真，设置 ammod 与 amdemod 的输入参数 carramp = 0 即为 DSB 的调制与解调（carramp 参数的默认值就是 0，不显式设定这个参数也可以）。使用这三个函数实现上面 1.2 节中确知信号 \(m(t)\) 的 DSB 调制解调，调制后加噪声的效果如下：

解调效果如下：

解调信号与调制信号波形基本重回，计算误差，有：\(\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i)-\hat{m}(t_i){\rvert}^2}}/\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i){\rvert}^2}}\approx0.0025\)。代码详见附录 main_CommDSB_example.m。

参考资料

[1] 楼才义,徐建良,杨小牛.软件无线电原理与应用[M].电子工业出版社,2014.

[2] 樊昌信,曹丽娜.通信原理.第7版[M].国防工业出版社,2012.

[3] CSDN - 通信原理之模拟幅度调制（线性调制）详解。

附录代码

附.1 文件 mod_dsb.m

function [ sig_dsb ] = mod_dsb(fc, fs, mt, t)
% MOD_DSB        DSB 双边带调幅
% 输入参数：
%       fc      载波中心频率
%       fs      信号采样率
%       mt      调制信号
%       t       采样时间
% 输出参数：
%       sig_dsb DSB 双边带调幅实信号
% @author 木三百川

% 生成信号
ct = cos(2*pi*fc*t);  
sig_dsb = mt.*ct;   % DSB 双边带调幅信号

% 绘图
nfft = length(sig_dsb);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_dsb));
subplot(3,2,1);
plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('调制信号m(t)');
subplot(3,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(mt,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('调制信号m(t)双边幅度谱');

subplot(3,2,3);
plot(t(1:plot_length), ct(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('载波c(t)');
subplot(3,2,4);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(ct,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('载波c(t)双边幅度谱');

subplot(3,2,5);
plot(t(1:plot_length), sig_dsb(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('DSB双边带调幅信号s(t)');
subplot(3,2,6);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_dsb,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('DSB双边带调幅信号s(t)双边幅度谱');

end

附.2 文件 main_modDSB_example.m

clc;
clear;
close all;
% DSB 调制仿真(调制信号为确知信号)
% @author 木三百川

% 调制参数
fm = 2500;              % 调制信号参数
fc = 20000;             % 载波频率
fs = 8*fc;              % 采样率
total_time = 2;         % 仿真时长，单位：秒

% 采样时间
t = 0:1/fs:total_time-1/fs;

% 调制信号为确知信号
mt = sin(2*pi*fm*t)+cos(pi*fm*t);

% DSB 调制
[ sig_dsb ] = mod_dsb(fc, fs, mt, t);

附.3 文件 demod_dsb_method1.m

function [ sig_dsb_demod ] = demod_dsb_method1(sig_dsb_receive, fc, fs, t, phi0)
% DEMOD_DSB_METHOD1        DSB 插入载波包络检波法
% 输入参数：
%       sig_dsb_receive     DSB 接收信号，行向量
%       fc                  载波中心频率
%       fs                  信号采样率
%       t                   采样时间
%       phi0                载波初始相位
% 输出参数：
%       sig_dsb_demod       解调结果，与 sig_dsb_receive 等长
% @author 木三百川

% 第一步：插入载波
A0 = max(abs(sig_dsb_receive))/0.8;
sig_dsb2am = sig_dsb_receive + A0*cos(2*pi*fc*t+phi0);

% 第二步：使用 AM 解调器进行解调
[ sig_dsb_demod ] = demod_am_method4(sig_dsb2am, fs, t);

end

附.4 文件 main_demodDSB_example1.m

clc;
clear;
close all;
% DSB 解调仿真(调制信号为确知信号，插入载波包络检波法)
% @author 木三百川

% 调制参数
fm = 2500;              % 调制信号参数
fc = 20000;             % 载波频率
fs = 8*fc;              % 采样率
total_time = 2;         % 仿真时长，单位：秒

% 采样时间
t = 0:1/fs:total_time-1/fs;

% 调制信号为确知信号
mt = sin(2*pi*fm*t)+cos(pi*fm*t);

% DSB 调制
[ sig_dsb_send ] = mod_dsb(fc, fs, mt, t);

% 加噪声
snr = 50;               % 信噪比
sig_dsb_receive = awgn(sig_dsb_send, snr, 'measured');

% 插入载波包络检波法
phi0 = 0;
[ sig_dsb_demod ] = demod_dsb_method1(sig_dsb_receive, fc, fs, t, phi0);

% 绘图
nfft = length(sig_dsb_receive);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_dsb_receive));
subplot(1,2,1);
plot(t(1:plot_length), sig_dsb_receive(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('DSB接收信号');
subplot(1,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_dsb_receive,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('DSB接收信号双边幅度谱');

figure;set(gcf,'color','w');
plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
hold on;
plot(t(1:plot_length), sig_dsb_demod(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('解调效果');
legend('调制信号','解调信号');

coef = mean(abs(mt))/mean(abs(sig_dsb_demod));
fprintf('norm(调制信号 - %.2f * 解调信号)/norm(调制信号) = %.4f.\n', coef, norm(mt-coef*sig_dsb_demod)/norm(mt));

附.5 文件 lpf_filter.m

function sig_lpf = lpf_filter(sig_data, cutfre)
% LPF_FILTER    自定义理想低通滤波器
% 输入参数：
%       sig_data        待滤波数据
%       cutfre          截止频率，范围 (0,1)
% 输出参数：
%       sig_lpf         低通滤波结果
% @author 木三百川

nfft = length(sig_data);
lidx = round(nfft/2-cutfre*nfft/2);
ridx = nfft - lidx;
sig_fft_lpf = fftshift(fft(sig_data));
sig_fft_lpf([1:lidx,ridx:nfft]) = 0;
sig_lpf = real(ifft(fftshift(sig_fft_lpf)));

end

附.6 文件 demod_dsb_method2.m

function [ sig_dsb_demod ] = demod_dsb_method2(sig_dsb_receive, fc, fs, t, phi0)
% DEMOD_DSB_METHOD2        DSB 相干解调（同步检测）
% 输入参数：
%       sig_dsb_receive     DSB 接收信号，行向量
%       fc                  载波中心频率
%       fs                  信号采样率
%       t                   采样时间
%       phi0                载波初始相位
% 输出参数：
%       sig_dsb_demod       解调结果，与 sig_dsb_receive 等长
% @author 木三百川

% 第一步：乘以相干载波
sig_dsbct = 2*sig_dsb_receive.*cos(2*pi*fc*t+phi0);

% 第二步：低通滤波
sig_dsb_demod = lpf_filter(sig_dsbct, fc/(fs/2));

end

附.7 文件 main_demodDSB_example2.m

clc;
clear;
close all;
% DSB 解调仿真(调制信号为确知信号，相干解调（同步检测）)
% @author 木三百川

% 调制参数
fm = 2500;              % 调制信号参数
fc = 20000;             % 载波频率
fs = 8*fc;              % 采样率
total_time = 2;         % 仿真时长，单位：秒

% 采样时间
t = 0:1/fs:total_time-1/fs;

% 调制信号为确知信号
mt = sin(2*pi*fm*t)+cos(pi*fm*t);

% DSB 调制
[ sig_dsb_send ] = mod_dsb(fc, fs, mt, t);

% 加噪声
snr = 50;               % 信噪比
sig_dsb_receive = awgn(sig_dsb_send, snr, 'measured');

% 相干解调（同步检测）
phi0 = 0;
[ sig_dsb_demod ] = demod_dsb_method2(sig_dsb_receive, fc, fs, t, phi0);

% 绘图
nfft = length(sig_dsb_receive);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_dsb_receive));
subplot(1,2,1);
plot(t(1:plot_length), sig_dsb_receive(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('DSB接收信号');
subplot(1,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_dsb_receive,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('DSB接收信号双边幅度谱');

figure;set(gcf,'color','w');
plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
hold on;
plot(t(1:plot_length), sig_dsb_demod(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('解调效果');
legend('调制信号','解调信号');

coef = mean(abs(mt))/mean(abs(sig_dsb_demod));
fprintf('norm(调制信号 - %.2f * 解调信号)/norm(调制信号) = %.4f.\n', coef, norm(mt-coef*sig_dsb_demod)/norm(mt));

附.8 文件 demod_dsb_method3.m

function [ sig_dsb_demod ] = demod_dsb_method3(sig_dsb_receive, fc, fs, t, phi0)
% DEMOD_DSB_METHOD3        DSB 数字正交解调，与相干解调（同步检测）是等效的
% 输入参数：
%       sig_dsb_receive     DSB 接收信号，行向量
%       fc                  载波中心频率
%       fs                  信号采样率
%       t                   采样时间
%       phi0                载波初始相位
% 输出参数：
%       sig_dsb_demod       解调结果，与 sig_dsb_receive 等长
% @author 木三百川

% 第一步：乘以正交相干载波
sig_dsb_i = 2*sig_dsb_receive.*cos(2*pi*fc*t+phi0);
sig_dsb_q = -2*sig_dsb_receive.*sin(2*pi*fc*t+phi0);

% 第二步：低通滤波
sig_dsb_i_lpf = lpf_filter(sig_dsb_i, fc/(fs/2));
sig_dsb_q_lpf = lpf_filter(sig_dsb_q, fc/(fs/2));
sig_dsb_demod = sig_dsb_i_lpf;

end

附.9 文件 main_demodDSB_example3.m

clc;
clear;
close all;
% DSB 解调仿真(调制信号为确知信号，数字正交解调)
% @author 木三百川

% 调制参数
fm = 2500;              % 调制信号参数
fc = 20000;             % 载波频率
fs = 8*fc;              % 采样率
total_time = 2;         % 仿真时长，单位：秒

% 采样时间
t = 0:1/fs:total_time-1/fs;

% 调制信号为确知信号
mt = sin(2*pi*fm*t)+cos(pi*fm*t);

% DSB 调制
[ sig_dsb_send ] = mod_dsb(fc, fs, mt, t);

% 加噪声
snr = 50;               % 信噪比
sig_dsb_receive = awgn(sig_dsb_send, snr, 'measured');

% 数字正交解调
phi0 = 0;
[ sig_dsb_demod ] = demod_dsb_method3(sig_dsb_receive, fc, fs, t, phi0);

% 绘图
nfft = length(sig_dsb_receive);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_dsb_receive));
subplot(1,2,1);
plot(t(1:plot_length), sig_dsb_receive(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('DSB接收信号');
subplot(1,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_dsb_receive,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('DSB接收信号双边幅度谱');

figure;set(gcf,'color','w');
plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
hold on;
plot(t(1:plot_length), sig_dsb_demod(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('解调效果');
legend('调制信号','解调信号');

coef = mean(abs(mt))/mean(abs(sig_dsb_demod));
fprintf('norm(调制信号 - %.2f * 解调信号)/norm(调制信号) = %.4f.\n', coef, norm(mt-coef*sig_dsb_demod)/norm(mt));

附.10 文件 main_CommDSB_example.m

clc;
clear;
close all;
% DSB 调制解调仿真(使用Communications Toolbox工具箱)
% @author 木三百川

% 调制参数
fm = 2500;              % 调制信号参数
fc = 20000;             % 载波频率
fs = 8*fc;              % 采样率
total_time = 2;         % 仿真时长，单位：秒

% 采样时间
t = 0:1/fs:total_time-1/fs;

% 调制信号为确知信号
mt = sin(2*pi*fm*t)+cos(pi*fm*t);

% DSB 调制
ini_phase = 0;
sig_dsb_send = ammod(mt, fc, fs, ini_phase);

% 加噪声
snr = 50;               % 信噪比
sig_dsb_receive = awgn(sig_dsb_send, snr, 'measured');

% DSB 解调
[ sig_dsb_demod ] = amdemod(sig_dsb_receive, fc, fs, ini_phase);

% 绘图
nfft = length(sig_dsb_receive);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_dsb_receive));
subplot(1,2,1);
plot(t(1:plot_length), sig_dsb_receive(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('DSB接收信号');
subplot(1,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_dsb_receive,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('DSB接收信号双边幅度谱');

figure;set(gcf,'color','w');
plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
hold on;
plot(t(1:plot_length), sig_dsb_demod(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('解调效果');
legend('调制信号','解调信号');

coef = mean(abs(mt))/mean(abs(sig_dsb_demod));
fprintf('norm(调制信号 - %.2f * 解调信号)/norm(调制信号) = %.4f.\n', coef, norm(mt-coef*sig_dsb_demod)/norm(mt));