树状数组

2023-07-24 11:54 由 Oneway` 发表于 #其他

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前言
定义
基本概念
基本原理
单点修改
- 分析
- 代码实现
区间查询
- 分析
- 代码实现
整体代码
练手题目
小结
参考资料

前言

这也算是我写正儿八经的博客，因为没怎么写过，所以可能有些地方没讲好或者有点啰嗦。但是我也会尽可能地解释明白其中的具体实现方法。要是有什么错误和问题，欢迎在评论区里指正和提问。

定义

树状数组是一种支持 单点修改 和 区间查询 的数据结构。

普通的树状数组只能用来维护像加法、乘法、异或等，这样满足结合律和可差分的信息。

结合律：\((x \circ y) \circ z = x \circ(y \circ z)\) ，其中 \(\circ\) 是一个二元运算符。

可差分：具有逆运算的运算，即已知 \(x \circ y\) 和 \(x\) 可以求出 \(y\) 。

基本概念

对于普通的数组来存储数据，修改一个数的时间复杂度是 \(O(1)\) 的，但是区间查询则是 \(O(N)\) 。而对于前缀和数组来说，虽然它能够在 \(O(1)\) 的时间复杂度内进行区间查询，但是一旦数据有了修改，仍然要再 \(O(N)\) 地重新构造。

所以对于这种单点修改和区间查询都有的操作，这两种数据结构都不能很好地完成任务。而树状数组就用了一种折中的法子来应对两种操作都有的情况，利用二进制的原理来维护前缀和，从而达到：

时间复杂度
- 单点修改：\(O(logN)\)
- 区间查询：\(O(logN)\)
空间复杂度：\(O(N)\)

基本原理

树状数组是根据二进制的原理对数据进行存储，基本存储逻辑如下图所示。

\(a[i]\) 代表原数组的存储数据，\(C[i]\) 代表树状数组的存储数据。而我们从图中发现，\(C[i]\) 并不是直接存储的前缀和，而是存储了一段相对应的区间值。具体如下，

\[\begin{align} 首先我们定义: sum[x, y] = &\sum_{i = x}^{y} a[i] \\ C[1] = sum[1, 1] &= a[1] \\ C[2] = sum[1, 2] &= a[2] + C[1] \\ C[3] = sum[3, 3] &= a[3] \\ C[4] = sum[1, 4] &= a[4] + C[3] + C[2] \\ C[5] = sum[5, 5] &= a[5] \\ C[6] = sum[5, 6] &= a[6] + C[5] \\ C[7] = sum[7, 7] &= a[7] \\ C[8] = sum[1, 8] &= a[8] + C[7] + C[6] + C[4] \\ &... \\ C[16] = sum[1, 16] &= a[16] + C[15] + C[14] + C[12] + C[8]\\ &... \end{align} \]

这样的话，我们在查询前缀和的时候就只需要把相对应的区间加和就行了。

例如，当我们要获取 \(i = 15\) 时的前缀和 \(sum[1, 15]\) 时，就只需要把 \(1 \sim 15\) 里的 \(C[j]\) 和就行，即 \(sum[1, 15] = C[15] + C[14] + C[12] + C[8]\) 。

那么对于 \(C[i]\) 要存储的区间值的逻辑是什么呢？就是为什么 \(C[10] = sum[9, 10]\) ，而不是 \(sum[1, 10]\) 或者存储其他的区间值。而这里就是树状数组对二进制原理的应用，\(C[i]\) 要存储的区间值就和 \(x\) 的二进制表示有关。

根据二进制原理，对于一个正整数 \(x\) ，可以表示为

\[x = 2 ^ {b_{1}} + 2^{b_{2}} + ... + 2^{b_{k}} \]

\(b_{i}\) 代表 \(x\) 的二进制表示中，从低位到高位，第 \(i\) 个 \(1\) 出现的位次（从 \(0\) 开始）。

例如： \(x = 11(1011_{2})\)，那么 \(11 = 2^{0} + 2^{2} + 2^{3} = 1 + 2 + 8\) 。

那么我们发现， \(C[x]\) 要存储的区间值其实就是 \(sum[x - 2^{b_{1}} + 1, x]\) 。这里的 \(2^{b_{1}}\) 代表 \(x\) 的二进制表示中最低位 \(1\) 所对应的值，即

\[C[x] = \sum_{i = x - 2^{b_{1}} + 1}^{x} a[i] \]

例如，\(x = 12(1100_{2})\)，最低位 \(1\) 所对应的值为 \(2^{2}\)，所以 \(C[12] = sum[12 - 2^{2} + 1, 12] = sum[9, 12]\) 。

单点修改

分析

从上面我们知道树状数组 \(C[x] = sum[x - 2^{b_{1}} + 1, x]\) ，那我们每次对于 \(a[i]\) 的修改操作都得保证这种逻辑是存在的。

假设现在要给\(a[3]\) 加上 \(V_{0}\) 。然后我们观察图发现， \(C[3], C[4], C[8], C[16] ...\) ，它们的值是从 \(a[3]\) 那里作为一部分加和得来的。那么为了保证数据存储逻辑的成立，就得把它们的值也都加上\(V_{0}\) 。

因为 \(C[x]\) 维护的是一个区间和，如果区间里的某一个值发生改变，那么 \(C[x]\) 也要做出相应的修改。同理，如果 \(C[x]\) 所维护区间被 \(C[y]\) 所包含，那么 \(C[y]\) 也需要做出相应的修改，然后一直往后找谁也需要被修改。那么我们就会发现，这不就是一个不断寻找自己父节点的过程（毕竟树状数组也算是个树结构），直到数组结尾。

那么问题来了，该怎么寻找 \(C[x]\) 的父节点呢？

这里先给出结论，对于 \(C[x]\) ，它的父节点就是 \(C[x + 2^{b_{1}}]\) 。这里的 \(2^{b_{1}}\) 和上面同理，代表 \(x\) 最低位的 \(1\) 所对应的值。那这个要怎么理解呢？

一种思路是，我们可以观察存储的逻辑图来找规律。我们发现 \(C[x]\) 的区间长度就等于 \(C[x]\) 到其父节点的距离，而 \(C[x]\) 的区间长度就为 \(2^{b_{1}}\) 。

另一种思路就是，我们可以通过二进制来看。通过上图我们知道，\(C[8]\) 的子节点有 \(C[4], C[6], C[7]\) 。然后观察它们的二级制表示，

\[\begin{align} 8(1000_{2}) \enspace = \enspace & 4(0100_{2}) \enspace + \enspace 0100_{2} \\ & 6(0110_{2}) \enspace + \enspace 0010_{2} \\ & 7(0111_{2}) \enspace + \enspace 0001_{2} \\ \end{align} \]

同样我们也能得出结论，\(x\) 的父节点为 \(x + 2^{b_{1}}\) 。至于 \(x\) 最低位 \(1\) 所代表的数值，可以通过 \(lowbit(x)\) 来求。

这样每次通过 x += lowbit(x); 来更新数值，直到数组结尾 \(n\)，最多需要执行 \(logn\) 次，所以一次修改操作的时间复杂度就是 \(O(logN)\) 。

lowbit(x) 解释（会的话可以直接跳过）

功能：可以用来求一个非负整数数 \(x\) 最低位 \(1\) 所代表的数值。

原理：它是利用了负数的补码特性。

我们知道，一个负数 \(-x\) 的二进制表示，是在其对应正数 \(x\) 的二进制表示进行取反加一 得来的。
例如，43 的二进制表示为 
           ...101011	// 前面省略 0
按位取反    ...010100	 // 前面省略 1
	+ 1    ...010101	// 前面省略 1
最后的出来的(...010101) 就是 -43 的二进制表示
\(lowbit(x)\) 是将 \(x\) 和 \(-x\) 进行按位与（&）操作，然后得到 \(x\) 最低位 \(1\) 所代表的数。

\[\begin{align} x &= \enspace ...1001100_{2} \\ -x &= \enspace ...0110100_{2} \\ x \enspace \& -x &= \enspace ...0000100_{2} \\ \end{align} \]
代码实现
void lowbit(x) {
    return x & -x;
}
如果实在不明白，可以先去学一学二进制及位运算相关的知识。

代码实现

const int N = 1e5 + 10;

int tr[N];	// tr[] 存储树状数组数据
int a[N];	// a[] 存储原数组数据
int n;	// 数组的长度

// 返回非负整数 x 在二进制表示下最低位 1 及其后面 0 构成的数值
int lowbit(int x) { return x & -x; }

// 将序列中第 x 个数加上 c
void add(int x, int c) {
    // 不断寻找自己的父亲节点，然后加上增减的值
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i))
        tr[i] += c;
}

// 使用举例
add(2, 3);	// 将序列中下标为 2 的数加上 3
add(5, -7);	// 将序列中下标为 5 的数减去 7

// 这里的每次操作都是对 tr[]进行修改, 而不会对 a[] 产生影响。

区间查询

分析

所谓区间查询，也就是利用前缀和 \(sum[l, r] = sum[1, r] - sum[1, l - 1]\) ，所以本质还是获取前缀和。

前面我们知道了树状数组每个 \(C[i]\) 所存储的是区间值，而想要每次查询操作来获取前缀和，就需要把这些区间值加在一起。那么对于每次操作要选择哪些区间相加呢？

然后拿出我们的万用图进行找规律（~~一招鲜，吃遍天~~）

我们能够发现，对于 \(sum[1, x]\) 值的获取，可以看成一个不断进行回退来获取 \(C[i]\) 的过程。例如，\(sum[1, 15] = C[15] + C[14] + C[12] + C[8]\) 。而每次需要回退的长度就是每个 \(C[i]\) 的区间长度，即每次获取最低位 \(1\) 所对应的数值。模拟过程就是，

\[\begin{align} sum[1, 13] = &C[12] + C[8] + C[0]\enspace (默认 C[0] 为 0)\\ 13 &= 1011_{2} \\ 回退 \enspace 0001_{2} \enspace 12 &= 1010_{2} \\ 回退 \enspace 0010_{2} \enspace \enspace 8 &= 1000_{2} \\ 回退 \enspace 1000_{2} \enspace \enspace 0 &= 0000_{2} \\ \end{align} \]

然后我们就能发现，这其实就是获取 \(x\) 每一位 \(1\) （从低位到高位）所对应的数值。

\[\begin{align} x = & 2^{b_{1}} + 2^{b_{2}} + ... + 2^{b_{k}} \\ sum[1, x] = \enspace & C[x - 2^{b_{1}}] \\ + &C[x - 2^{b_{1}} - 2^{b_{2}}] \\ + & ... \\ + &C[x - 2^{b_{1}} - 2^{b_{2}} - ... -2^{b_{k}}] \\ \end{align} \]

那么这样的话就也需要用到 \(lowbit(x)\) 来每次获取 \(x\) 最低位 \(1\) 所对应的数值，从而找到需要加和的 \(C[i]\) ，来实现查询前缀和的操作。

这样每次通过 x -= lowbit(x); 来更新数值，因为是对 \(x\) 的二进制进行操作，所以最多需要执行 \(logx\) 次，那么一次查询操作的时间复杂度就是 \(O(logN)\) 。

代码实现

const int N = 1e5 + 10;

int tr[N];	// tr[] 存储树状数组数据
int a[N];	// a[] 存储原数组数据

// 返回非负整数 x 在二进制表示下最低位 1 及其后面 0 构成的数值
int lowbit(int x) { return x & -x; }

// 查询序列前 x 个数的和
int query(int x) {
    int res = 0;
    // 不断进行回退, 直到 tr[0]
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i))
        res += tr[i];
    return res;
}

// 操作举例
int sum1 = query(x);	// 查询 a[1] ~ a[x]的和
int sum2 = query(r) - query(l - 1);	// 查询 a[l] ~ a[r] 的和

整体代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int tr[N];	// tr[] 存储树状数组数据
int a[N];	// a[] 存储原数组数据

// 返回非负整数 x 在二进制表示下最低位 1 及其后面 0 构成的数值
int lowbit(int x) { return x & -x; }

// 将序列中第 x 个数加上 c
void add(int x, int c) {
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) 
        tr[i] += c;
}

// 查询序列前 x 个数的和
void query(int x) {
    int res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i))
        res += tr[i];
    return res;
}


int main() {
    int n;
    cin >> n;
    
    // 获取原数组数据
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    
    // 建立树状数组
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        add(i, a[i]);	// 在下标为 i 的位置加上 a[i]
    
    add(3, 20);	// 在下标为 3 的位置加上 20
    add(4, -30);// 在下标为 4 的位置减去 30
    add(15 - query(2));	// 将下标为 2 的位置的值改为 15
    
    int sum1 = query(11);	// 获取序列前 11 个数的和
    int sum2 = query(14, 3);	// 获取序列下标 3~14 的和
    
    return 0;
}

练手题目

P3374 【模板】树状数组 1 - 洛谷

P3368 【模板】树状数组 2 - 洛谷

小结

树状数组巧妙地运用了二进制的存储逻辑，使得能够在 \(O(logN)\) 内完成单点修改和区间查询 。虽然它的应用场景有局限性，有些问题还是需要用到线段树来解决。但是树状数组胜在代码简单，用的时候很好敲（相对于敲一个线段树）。
而且这里只是讲了树状数组最基本的应用，上面的例题也都是模板题。至于树状数组的拓展使用，之后应该会再写的。。。。

参考资料

树状数组 - OI Wiki (oi-wiki.org)：https://oi-wiki.org/ds/fenwick/

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