第二章 流密码 —— 现代密码学（杨波）课后题答案解析
第二章作业参考答案
1．3级线性反馈移位寄存器在c3＝1时可有4种线性反馈函数，设其初始状态为(a1,a2,a3)=(1,0,1)，求各线性反馈函数的输出序列及周期。
解：此时线性反馈函数可表示为f(a1,a2,a3)=a1Åc2a2Åc1a3
当c1＝0，c2＝0时，f(a1,a2,a3)=a1Åc2a2Åc1a3＝a1，
输出序列为101101…， 周期＝3
当c1＝0，c2＝1时，f(a1,a2,a3)=a1Åc2a2Åc1a3＝a1Åa2，
输出序列为10111001011100…，周期＝7
当c1＝1，c2＝0时，f(a1,a2,a3)=a1Åc2a2Åc1a3＝a1Åa3，
输出序列为10100111010011…，周期＝7
当c1＝1，c2＝1时，f(a1,a2,a3)=a1Åc2a2Åc1a3＝a1Åa2Åa3，
有输出序列为1010…， 周期＝2
2．设n级线性反馈移位寄存器的特征多项式为p(x)，初始状态为(a1,a2, …,an-1,an)=(00…01)，证明输出序列的周期等于p(x)的阶
证：设p(x)的阶为p，由定理2-3，由r|p，所以r£p
设A(x)为序列{ai}的生成函数，并设序列{ai}的周期为r，则显然有A(x)p(x)＝f(x)
又A(x)＝a1+a2x+…+arxr-1+xr(a1+a2x+…+arxr-1)+(xr)2(a1+a2x+…+arxr-1)+…
＝a1+a2x+…+arxr-1/(1-xr)＝a1+a2x+…+arxr-1/(xr-1)
于是A(x)=(a1+a2x+…+arxr-1)/(xr-1)＝f(x)/p(x)
又(a1,a2, …,an-1,an)=(00…01)
所以p(x)(anxn-1+…+arxr-1)=f(x)(xr-1) 即 p(x)xn-1(an+…+arxr-n)=f(x)(xr-1)
由于xn-1不能整除xr-1，所以必有xn-1|f(x)，而f(x)的次数小于n，所以必有f(x)＝xn-1
所以必有p(x)|(xr-1)，由p(x)的阶的定义知，阶p£r
综上所述：p＝r #
3．设n＝4，f(a1,a2,a3,a4)=a1Åa4Å1Åa2a3，初始状态为(a1,a2,a3,a4)＝(1,1,0,1)，求此非线性反馈移位寄存器的输出序列及周期。
解：由反馈函数和初始状态得状态输出表为
(a4 a3 a2 a1) 输出 (a4 a3 a2 a1) 输出
1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 1 0 1 1 1 1
1 1 1 0 0 1 0 1 1 1（回到初始状态）
所以此反馈序列输出为：11011…周期为5
4．设密钥流是由m＝2s级LFSR产生，其前m+2个比特是(01)s+1，即s＋1个01。问第m+3个比特有无可能是1，为什么？
解：不能是1。
可通过状态考察的方法证明以上结论。
首先m级LFSR的状态是一个m维的向量，则前m个比特构成一个状态S0，可表示为(01)s，
第m＋1个比特是0，所以S0的下一个状态是S1＝(10)s，
第m＋2个比特是1，所以S1的下一个状态是S2＝(01)s＝S0，回到状态S0，
所以下一个状态应是S3=S1＝(10)s，也即第m+3个比特应该为0。
5．设密钥流是由n级LFSR产生，其周期为2n－1，i是任一正整数，在密钥流中考虑以下比特对
(Si, Si+1), (Si+1, Si+2), …, (Si+2n－3, S i+2n－2), (Si+2n－2, S i+2n－1),
问有多少形如(Sj, Sj+1)＝(1,1)的比特对？证明你的结论。
答：共有2(n-2)
证明：
证明方法一：由于产生的密钥流周期为2n－1，且LFSR的级数为n，所以是m序列
以上比特对刚好是1个周期上，两两相邻的所有比特对，其中等于(1,1)的比特对包含在所有大于等于2的1游程中。由m序列的性质，所有长为i的1游程(1£ i £n-2)有2n-i-1/2个，没有长为n－1的1游程，有1个长为n的1游程。
长为i (i>1)的1游程可以产生i-1个(1,1)比特对，
所以共有(1,1)比特对的数目N＝2n-2-2×(2－1)＋2n-3-2×(3－1)＋…＋2n-i-2×(i－1)＋…＋2n-(n－2)－2×(n－2－1)＋n－1＝＋n－1＝2(n-2)
证明方法2：考察形如11*…*的状态的数目，共有2(n-2)个
6．已知流密码得密文串为1010110110和相应明文串0100010001，而且还已知密钥流是使用3级线性反馈移位寄存器产生的，试破译该密码系统。
解：由二元加法流密码的加密算法可知，将密文串和相应的明文串对应位模2加可得连续的密钥流比特为1110100111
设该三级线性反馈移位寄存器的反馈函数为f(a1,a2,a3)=c3a1Åc2a2Åc1a3
取其前6比特可建立如下方程
(a4a5a6)＝(c3,c2,c1)，
即(c3,c2,c1)＝(a4a5a6)＝(0 1 0) =(0 1 0) =(1 0 1)
所以f(a1,a2,a3)=a1Åa3，即流密码的递推关系式为ai+3=ai+2Åai
7．若GF(2)上的二元加法流密码的密钥生成器是n级线性反馈移位寄存器，产生的密钥是m序列。2.5节已知，敌手若知道一段长为2n的明密文对就可破译密钥流生成器。如果敌手仅知道长为2n－2的明密文对，问如何破译密钥流生成器。
解：破译n－LFSR所产生的m序列，需要2n个连续比特，现在仅有2n－2个连续的密钥比特(由长为2n－2的明密文对逐位异或得到)，因此需要猜测后两个比特。这有00，01，10，11四种情况，对这些情况按下式逐一试破译
(an+1an+2..a2n)＝(cncn-1..c1) =(cncn-1..c1) X
首先验证矩阵X的可逆性，如果不可逆则可直接排除此情况
其次对于可逆的情况，求解出(cncn-1..c1)，然后验证多项式p(x)=1+c1x+…+cnxn是否是本原多项式，如果是，则是一解。
结果可能会多余1个。
8.设J-K触发器中{ak}和{bk}分别为3级和4级m序列，且
{ak}＝11101001110100…
{bk}＝001011011011000 001011011011000…
求输出序列{ck}及周期。
解：由于gcd(3，4)=1且a0＋b0＝1所以序列{ck}的周期为(23-1)(24-1)=105
又由J-K触发器序列的递推式ck=( ak+bk+1) )ck-1+ak，令c-1=0可得输出序列为：
{ck}=11001001…
9．设基本钟控序列产生器中{ak}和{bk}分别为2级和3级m序列，且
{ak}＝101101…
{bk}＝10011011001101…
求输出序列{ck}及周期。
解：序列{ak}的周期p1＝22－1＝3，序列{bk}的周期p2＝23－1＝7，w1＝a0＋a1＋a2＝2
而gcd(w1, p2)=1。所以序列{ck}的周期p＝p1p2＝3×7＝21
记LFSR2(产生序列{bk})的状态向量为σk，则σ0＝(100)，在LFSR1(产生序列{ak})的控制下，状态转移为：
{ak} 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1
(100),(001),(001),(011),(110),(110),(101),(011),(011),(110),(100),(100),(001),(011),(011),(110)
1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1
{ak} 1 0 1 1 0 1 1 0 1
(101),(101),(011),(110),(110),(100),(001), (001),(011)
1 1 0 1 1 1 0 0 0
所以输出序列为100011100111000111011 1000…
复习题
4.3. 已知一有限状态自动机的状态转移图如图所示，则当初始状态为s1，且输入字符序列为A1(1)A2(1)A1(1)A3(1)A3(1)A1(1)时，输出的状态序列和输出符号序列分别是什么？
解：根据有限状态机转移图有
(1) 输出的状态序列 s1, s2, s2, s3, s2, s1, s2
(2) 输出的符号序列 A1(2) A1(2) A2(2) A1(2) A3(2) A1(2)
5.3 n次不可约多项式p(x)的周期为r，试证A(x)=1/p(x)的充要条件是0的n－1游程出现在一个周期的最后n-1bit
证：由于p(x)是不可约多项式，则由p(x)生成的非0序列的周期等于p(x)的周期r
由A(x)＝a1+a2x+…+arxr-1+xr(a1+a2x+…+arxr-1)+(xr)2(a1+a2x+…+arxr-1)+…
＝a1+a2x+…+arxr-1/(1-xr)＝a1+a2x+…+arxr-1/(xr-1)
于是A(x)=(a1+a2x+…+arxr-1)/(xr-1)＝1/p(x)
所以p(x) (a1+a2x+…+arxr-1)= xr+1
由于p(x)的次数为n，所以(a1+a2x+…+arxr-1)的最大次数为r-1-n，也就是说从xr-1-n+1开始系数都为0
即从xr-n到xr-1共n-1个系数都为0，由0的最大游程长度是n-1，所以0的n-1游程出现在一个周期的最后n-1bit
必要性：
如果0的n-1游程出现在最后n-1bit，我们考察p(x) (a1+a2x+…+arxr-1)＝f(x) (xr-1)，其中f(x)满足A(x)p(x)＝f(x)，由于p(x)次数为n，而根据0的n-1游程出现在最后n-1bit 知(a1+a2x+…+arxr-1)的最大次数是
r-1-(n-1)，所以方程左边p(x) (a1+a2x+…+arxr-1)的次数为n+ r-1-(n-1)=r，所以方程右边f(x)=1，即A(x)=1/p(x) #
6.2 已知一序列的前10比特为0010001111
(1) 试用B-M算法求出产生该序列极小多项式和线性复杂度
(2) 给出产生该序列的LFSR的递推式、结构图和周期
(3) 破译该序列最少需要知道多少连续的密钥流比特
解：(1) 产生该序列的极小多项式和线性复杂度分别是1+x+x4和4
|
n |
a10 |
dn |
fn(x) |
ln |
m |
fm(x) |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
2 |
1 |
1 |
1 |
0 |
2 |
1 |
|
3 |
0 |
0 |
1-d2x2+1=1+x3 |
2+1=3 |
|
|
|
4 |
0 |
0 |
1+x3 |
3 |
|
|
|
5 |
0 |
1 |
1+x3 |
3 |
|
|
|
6 |
1 |
1 |
(1+x3)+x5-2(1)=1 |
3 |
6 |
1 |
|
7 |
1 |
1 |
1+ x6-2(1)=1+x4 |
4 |
|
|
|
8 |
1 |
0 |
1+x4+x7-6(1)=1+x+x4 |
4 |
|
|
|
9 |
1 |
0 |
1+x+x4 |
4 |
|
|
|
10 |
|
|
1+x+x4 |
4 |
|
|
(2)结构图、递推式和周期
递推式 ak+4=ak+3Åak
周期：由于是本原多项式，所以周期为24-1=15
(3) 需要知道至少2x4=8个连续的密钥流比特