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柯学家——珂朵莉树 学习笔记

2023-11-16 14:18 由 RainPPR 发表于 #其他

柯学家——珂朵莉树 学习笔记

珂朵莉树（Chtholly Tree），又名老司机树 ODT（Old Driver Tree）。

起源自 lxl 的 CF896C Willem, Chtholly and Seniorious。

前置知识：std::set。

思想

将区间用 set 维护，每次对一个区间进行操作的时候，就将这个区间分离（split）出来。

复杂度的保证依靠推平操作，由于这个操作大幅减少了节点的数量，因此可以达到减少操作次数的目的；而对于每一个查询操作，暴力求解。

因此，我们可以得出卡死珂朵莉树的方法：避免推平操作，甚至没有推平操作，这样珂朵莉树就退化为暴力的 \(\mathcal O(nm)\) 了。（珂朵莉很伤心~）

适用情况

区间操作，需要有区间推平（赋值）操作，具体可以看下面的。

区间查询，尤其是一些奇怪的操作。

保证数据随机：\(n\) 个数 \(m\) 个操作，均摊复杂度 \(\mathcal O(m \log n)\)。

在数据不随机的情况下，需要一些技巧，或者用树链剖分，线段树、平衡树维护 ODT，等等，才能过。

用途

区间操作，极少数题目是珂朵莉树为正解的，有一些上古题目没有 hack 珂朵莉树的仍然可以来做。对于现代题目，珂朵莉树的主要作用是来骗分、对拍，因为珂朵莉树比较好写。且对于随机数据复杂度较快。

操作

节点的存储

struct node_t {
	int l, r; mutable int v;
	node_t(int l): l(l) {}
	node_t(int l, int r, int v): l(l), r(r), v(v) {}
	friend bool operator <(const node_t &a, const node_t &b)
	{ return a.l < b.l; }
};
  • 显然的，使用结构体存储区间为一个节点，每个节点对于它的范围 \([l,r]\) 和值 \(v\)，此处的 \(v\) 显然是你指定的数据。
  • 标识符 mutable 表示「可修改的」，与 const 对应，其作用是，对于放入 set 中的节点，可以在不取出的情况下，修改其 \(v\) 的值。

珂朵莉树本珂

set<node_t> odt;
  • 显然的，没有解释。

区间分裂

auto split(int x) {
	auto it = --odt.upper_bound(node_t(x));
	if (it->l == x) return it;
	auto [l, r, v] = *it;
	odt.erase(it); odt.emplace(l, x - 1, v);
	return odt.emplace(x, r, v).first;
}
  • split 操作是珂朵莉树的根本操作，其作用是，对于包含一个 \(x\) 的区间，将其分裂为两个区间 \([l,x),[x,r]\)，并返回 \(x\) 处的迭代器。
  • upper_bound 表示找到第一个 \(\ge x\) 的节点，然后将其自减，即可以找到第一个 \(l \le x\) 的节点了。
  • it->l == x 如果 \(x\) 已经是这个区间的左端点，那么就没有必要分裂，直接返回此迭代器即可。
  • 否则，删除这个节点，并添加上对于的节点。注意 set 的 insert 返回值为一个 pair<iterator, bool> 分别表示加入的元素的迭代器，以及是否成功添加。

区间分离

auto get(int l, int r) {
	auto itr = split(r + 1), itl = split(l);
	return make_pair(itl, itr);
}
  • 表示将区间 \([l,r]\) 分离出来，并返回其迭代器 \([itl,itr)\)。
  • 关于为什么要 split 的是 \(r + 1\) 而不是 \(r\)，其实是因为，我们的 split 可以将区间从 \(x\) 处分开，而想要将 \([l,r]\) 分离出来，就需要从 \(r+1\) 断开，而不是 \(r\)。（说这个的原因是 这篇文章 给出解释显然是错的）
  • 注意（易错点）：此处要先 split 右端点 \(r+1\) 然后再 split 左端点 \(l\)，因为当我们将右端点分离时，如果 \(l\) 和 \(r+1\) 位于一个节点中，那么我们在 split 端点 \(r+1\) 时，就会将端点 \(l\) 所在的节点 erase 掉，如此就迭代器失效，导致 RE。

区间插入

void insert(int l, int r, int v) {
	odt.emplace(l, r, v);
}
  • 显然的，没有解释。

区间推平

void assign(int l, int r, int v) {
	auto [itl, itr] = get(l, r);
	odt.erase(itl, itr);
	odt.emplace(l, r, v);
}
  • 先将区间 \([l,r]\) 分离出来，然后删除 \([itl,itr)\) 内的所有节点，最后加入新增的节点。
  • 注意这里用到了 set 的 erase 用法，传入左、右迭代器，删除两个迭代器之间的节点。

其他操作

void performance(int l, int r, auto op) {
	auto [itl, itr] = get(l, r);
	for (; itl != itr; ++itl) op(itl);
}
  • 套板子就好了，下文会总结一些常见的操作。

常见操作

区间加

void add(int l, int r, ll v) {
	auto [itl, itr] = get(l, r);
	for (; itl != itr; ++itl) itl->v += v;
}

区间 rk.k

auto rank_k(int l, int r, int k) -> ll {
	vector<pair<ll, int>> bucket;
	auto [itl, itr] = get(l, r);
	for (; itl != itr; ++itl) bucket.push_back({itl->v, itl->r - itl->l + 1});
	sort(bucket.begin(), bucket.end());
	for (auto i : bucket) if ((k -= i.second) <= 0) return i.first;
	return -1;
}

处理细节问题

关于 Debug：

void debug() {
	for (auto [l, r, v] : odt)
	cerr << "(" << l << " " << r << ": " << v << ")";
	cerr << endl;
}

关于 \(n+1\)：

我们推荐在初始化（insert）之后再添加一个区间 \([n+1,n+1]\)，因为如果不添加的话，查询区间 \([*,n]\) 就会导致不可预料的错误。

关于非随机数据

在数据随机的情况下，显然珂朵莉树的复杂度为 \(\mathcal O(m\log n)\)，但是前文也说过，珂朵莉树的复杂度是不正确的，出题人就算用脚造数据也能随随便便的卡死珂朵莉树（伤心

于是我们就需要一些优化的技巧，或者其他方式维护 ODT 了。

还有一类问题（P4979 矿洞：坍塌），查询一个区间是否值相同。我们会发现，理论上，值相同的区间最好由节点表示，因此我们可以得出优化的方法，一边查询一边讲等值的区间推平，注意到推平操作也是有 \(\mathcal O(\log n)\) 的复杂度的，因此我们记录一下，最远可以延伸到的位置，使得这个区间值全都相等，再推平这个区间即可。

PS：这个不知道将来会不会被 hack，详见我发的讨论 https://www.luogu.com.cn/discuss/732354。

关于吸氧

珂朵莉树不是正解的题，大部分时候需要吸氧，可能是因为珂朵莉掉水里了（威廉快去救你老婆。

总结

练习题：https://www.luogu.com.cn/training/418574

最后的最后，放一个大模板吧。

class odt_t {

private:

struct node_t {
	int l, r; mutable int v;
	node_t(int l): l(l) {}
	node_t(int l, int r, int v): l(l), r(r), v(v) {}
	friend bool operator <(const node_t &a, const node_t &b)
	{ return a.l < b.l; }
};

set<node_t> odt;

auto split(int x) {
	auto it = --odt.upper_bound(node_t(x));
	if (it->l == x) return it;
	auto [l, r, v] = *it;
	odt.erase(it); odt.emplace(l, x - 1, v);
	return odt.emplace(x, r, v).first;
}

auto get(int l, int r) {
	auto itr = split(r + 1), itl = split(l);
	return make_pair(itl, itr);
}

public:

void insert(int l, int r, int v) {
	odt.emplace(l, r, v);
}

void assign(int l, int r, int v) {
	auto [itl, itr] = get(l, r);
	odt.erase(itl, itr);
	odt.emplace(l, r, v);
}

void add(int l, int r, ll v) {
	auto [itl, itr] = get(l, r);
	for (; itl != itr; ++itl) itl->v += v;
}

auto rank_k(int l, int r, int k) -> ll {
	vector<pair<ll, int>> bucket;
	auto [itl, itr] = get(l, r);
	for (; itl != itr; ++itl) bucket.push_back({itl->v, itl->r - itl->l + 1});
	sort(bucket.begin(), bucket.end());
	for (auto i : bucket) if ((k -= i.second) <= 0) return i.first;
	return -1;
}

void debug() {
	for (auto [l, r, v] : odt)
	cerr << "(" << l << " " << r << ": " << v << ")";
	cerr << endl;
}

};

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