如何利用多个环境光传感器联合判别光线方向

最近遇到一个有趣的问题，如何实现对于光线方向的判别？一般来说，环境光传感器只能感受到光的强度，无法获得光线的方向。但是经过调查，环境光传感器输出的数值除了与光照强度有关，还与照射传感器的方向有关。

如下图所示，垂直照射传感器接收平面时响应最大，而光线平行于平面时，则没有读数。可以利用这个特性，将多个传感器组成阵列，联合判别光线方向。

问题描述

现有某个位于 \(x, y\) 的光源，沿负 y 轴方向发射强度为 \(c\) 的光线；
多个传感器间隔 \(x_0\) 一字排开，则第 \(k\) 个传感器位置为 \(kx_0, k=0, 1, 2, \dots\)

为了简化问题，这里考虑了2d的情况，并且认为传感器的响应函数为二次函数：$$f(c, \theta) = c(1-(\frac{2\theta}{\pi})^2)$$
其中 \(\theta = \arctan(\frac{k x_0 - x}{y})\).
要根据每个传感器的值 \(f_k\)，获取光源的位置 \(x, y\) 和强度 \(c\)。

解决思路（略）

这个问题其实就是求解非线性的方程组，可以使用非线性最小二乘拟合。

最小二乘即最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
形式为求得数据与实际数据之间误差的平方和：\(\sum(y_i - f(x_i))^2\)
可以理解为，对于未知的函数 \(f(x)\)，有一组自变量 \(x_i\) 对应观测值 \(y_i\)
对于非线性最小二乘，\(f(x)\) 无法表示为线性关系，通常使用迭代法，找一个 \(x_0\)，然后不断寻找增量 \(\Delta x\), 使代价函数减小。

在这个问题中，“未知函数”由要求的未知量决定，\(x_i, y_i\) 为传感器序号和传感器数值。

scipy.optimize.curve_fit 是专门用于求解非线性最小二乘的函数🥳，最后我用这个尝试了一下，效果还不错！代码放在这里。

讨论

默认迭代次数内可能无法收敛，可以手动调整 maxfev=5000；还有，函数设置中，也避免梯度消失的情况，传感器只对入射角度在 \((-\pi/2, \pi/2)\) 内的光线有输出，其余为 0，但是这样设置的话有可能存在梯度消失的问题。

传感器间距、数目越大，分辨率越高。如果光线位置距离传感器来说很远，那么所有的传感器获得的数值相差无几，就会导致估计得到的结果与实际差距很大，或者达到最大迭代次数仍无法求出结果。

容忍噪声的程度取决于噪声是否不会破坏传感器感光的大体趋势，即传感器读数大体上应该根据入射角度的增大而减小，如果噪声干扰了这个趋势就会无法判别。这说明，如果增大传感器间距和数目，也可增强克服噪声的能力。

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