[数据结构] 串与KMP算法详解
写在前面
今天是农历大年初三，祝大家新年快乐！
尽管新旧交替只是一个瞬间，在大家互祝新年快乐的瞬间，在时钟倒计时数到零的瞬间，在烟花在黑色幕布绽放的瞬间，在心底默默许下愿望的瞬间……跨入新的一年，并不意味了一切都会朝着更美好，也没有什么会从天而降，我们赋予了它这份意义，让它自然裹挟着新的爱与希望而来。
当我的视线跃过癸卯兔年，一路的海浪翻涌千叠阳关，才发现此间飘零无关风月，只是山海与风又如期周游了人间一趟。
《人民日报》说，人生这条路很长，未来星辰大海般璀璨，不必踌躇于过去的半亩方塘，这些所谓的遗憾，可能是一种成长，那些曾受过的伤，终会化作光照亮前方的路。
总有一天你会明白，真正治愈你的从来都不是时间，而是你心理的那份释怀与格局，只要你的内心不慌乱，连世界都难影响你。
串的定义和实现
串的定义
串（string）是由零个或多个字符组成的有限序列。一般记为：
其中\(S\)是串名，\(a_i\)可以是字母，数字或其他字符。
串中任意连续多个的字符组成的子列称为该串的子串，包含子串的串称为主串。某个字符在串中的序号称为该字符在串中的位置。
\(e.g.\) 串\(A = ' \text{China Beijing} ', B = ' \text{Beijing} ', C = ' \text{China} '\)，则他们的长度分别是13,7,5，B和C是A的子串，B在A的位置是7。
串的存储结构
定长顺序存储表示
在串的定长顺序存储结构中，每个串变量分配一个固定长度的存储区：
#define MaxLen 255
typedef struct {
char ch[MaxLen]; // 每个分量存储一个字符
int length; // 串的实际长度
}String;
串长只能小于等于MaxLen，超过预定义长度的串被舍去，称为截断
串长的两种表述方式：
- 用一个额外的变量len来存放串的长度
- 在串值后面加一个不计入长度的结束标记字符"\(\text{\\ 0}\)"，此时串长为隐含值
堆分配存储表示
堆分配存储表示以一组地址连续的存储单元存放串值的字符序列，但存储空间是在程序执行过程中动态分配得到
typedef struct {
char *ch;
int length;
}String;
串的匹配模式
简单的模式匹配算法
子串的定位操作通常称为串的模式匹配，它求的是子串（模式串）在主串中的位置。
思想：从文本串的第一个字符开始匹配，如果当前字符匹配成功，则继续匹配下一个字符，否则回溯到上一个匹配的位置，重新从下一个位置开始匹配。如果模式串已经遍历完，说明匹配成功，返回匹配的起始位置，否则匹配失败，返回-1。
int simple_match(char *s, char *p) {
int i = 0, j = 0;
while(s[i] != '\0' && p[j] != '\0') {
if(s[i] == p[j])
i ++, j ++;
else {
i = i - j + 1;
j = 0;
}
}
if(p[j] == '\0')
return i - j;
else
return -1;
}
这是一种暴力匹算法，时间复杂度为\(O(mn)\)，m和n分别表示主串和模式串的长度。
我们设主串\(S = 'ababcabcacbab'\)，模式串\(p = 'abcac'\)进行图解，后文图解两串同。
KMP算法
如上图所示，在第三趟匹配中，\(i = 7, j = 5\)的字符比较，结果不等，于是回退到\(i = 4, j = 1\)重新比较。其实我们可以发现，中间第四、五、六趟比较其实都是不必进行的，可以直接到\(i = 7, j = 2\)开始比较。
字符串的前缀、后缀和部分匹配值
前缀：除最后一个字符以外，字符串的所有头部子串；
后缀：除第一个字符外，字符串的所有尾部子串；
部分匹配值：字符串的前缀和后缀的最长相等前后缀长度；
以\('ababa'\)为例：
我们可以得到该字符串的部分匹配值为：00123
回到最初的问题，将模式串改写成数组的形式，得到部分匹配值表（PM表）
| 编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| S | a | b | c | a | c |
| PM | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
记住一个公式，非常重要：
下面用PM表来进行字符串匹配：
第一趟匹配过程：发现c与a不匹配，前面两个字符ab匹配，查表，最后一个匹配字符b对应的部分匹配值是0，由公式可得，将子串向后移动2位，进行第二趟匹配：
第二趟匹配过程：发现c与b不匹配，前面四个字符abca匹配，最后一个匹配字符a对应的部分匹配值为1，由公式可得，将子串向后移动3位，进行第三趟匹配：
第三趟匹配过程：匹配成功。
整个匹配过程中，主串没有发生过回退，所以KMP算法可以在\(O(m+n)\)的时间数量级上完成串的模式匹配。
KMP算法的原理
如图2所示，当c与b不匹配时，已匹配的\('abca'\)的前缀a和后缀a为最长公共元素，因此无需比较，直接将子串按照公式移动对应位数，如图3所示：
对算法的改进方法：
已知：右移位数 = 已匹配的字符数 - 对应的部分匹配值；
写成：\(Move = (j - 1) - PM[j - 1]\)。
使用部分匹配值时，每当匹配失败，就去找它前一个元素的部分匹配值，将PM表右移一位，方便直接看自己的部分匹配值。
将例子中模式串PM表右移一位，得到next数组：
| 编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| S | a | b | c | a | c |
| PM | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| next | -1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
- 第一个元素右移以后空缺的用-1来填充，因为若第一个元素匹配失败，则需要将子串右移一位，而不需要计算子串移动的位数；
- 最后一个元素在右移时溢出，因为原来的子串中最后一个元素的部分匹配值是下一个元素使用的，但已经没有下一个元素了，舍去。
于是上式改写成：\(Move = (j - 1) - next[j]\)
最终得到子串指针变化公式 \(j = next[j]\)。在实际匹配过程中，子串在内存中是不会移动的，而是指针的变化。
\(next[j]\)的含义是：当子串的第i个字符与主串发生失配时，跳到子串的next[j]位置重新与主串当前位置进行比较。
注
本人在网上查阅相关资料时，没有找到任何有关next数组的推导公式证明，此外由于本人近日感冒腰扭了，坐着打字痛的一批，后面我好了看到这里再补充，接下来我们直接看求next值的代码：
void get_next(char *p, int *next) {
int i = 0, j = -1;
next[0] = -1;
while(p[i] != '\0') {
if(j == 1 | p[i] == p[j]) {
i ++, j ++;
next[i] = j;
}
else {
j = next[j];
}
}
}
KMP的代码：
int index_KMP(char *s, char *p, int *next) {
int i = 0, j = 0;
int s_len = strlen(s), p_len = strlen(p);
while(i < s_len && j < p_len) P
if(j == -1 || s[i] == p[j])
i ++, j ++;
else
j = next[j];
if(p[j] == '\0')
return i - j;
else
return -1;
}
题目：来自AcWing 831
给定一个字符串 S，以及一个模式串 P，所有字符串中只包含大小写英文字母以及阿拉伯数字。
模式串 P 在字符串 S 中多次作为子串出现。
求出模式串 P 在字符串 S 中所有出现的位置的起始下标。输入格式
第一行输入整数 N，表示字符串 P 的长度。
第二行输入字符串 P。
第三行输入整数 M，表示字符串 S 的长度。
第四行输入字符串 S。输出格式
共一行，输出所有出现位置的起始下标（下标从 0 开始计数），整数之间用空格隔开。数据范围
\(1 \leq N \leq 10^5\)
\(1 \leq M \leq 10^6\)
输入样例
3
abc
5
ababa
输出样例
0 2
完整代码
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100000 + 10, M = 1000000 + 10;
int n, m;
char p[N], s[M];
int next[N];
int main() {
cin >> n >> p + 1 >> m >> s + 1;
for(int i = 2, j = 0; i <= n; i ++) {
while(j && p[i] != p[j + 1])
j = next[j];
if(p[i] == p[j + 1])
j ++;
ne[i] = j;
}
for(int i = 1, j = 0; i <= m; i ++) {
while(j && s[i] != p[j + 1])
j = next[j];
if(s[i] == p[j + 1])
j ++;
if(j == n) {
printf("%d ", i - n);
j = next[j];
}
}
return 0;
}
KMP的进一步优化
这里也仅给出代码，后面再补吧，菜鸡博主痛得不行了
void get_nextval(char *p, int *nextval) {
int i = 0, j = -1;
nextval[0] = -1;
while(p[i] != '\0') {
if(j == -1 || p[i] == p[j]) {
i ++, j ++;
if(p[i] != p[j])
nextval[j] = j;
else
nextval[i] = nextval[j];
}
else
j = nextval[j];
}
}