逻辑学笔记

写在前面

几个小问题，在读逻辑学之前乍一下找不出的问题，但又与事实不同的推理

• 直言三段论
  • 葡萄是水果
  • 菠萝不是葡萄
  • 所以:菠萝不是水果
  • 错误：前提中不周延的项，在结论中不得周延
• 二难推理（复杂构成式）
  • 如果课外活动搞得多，那么会影响学生基础课学习（p→q）
  • 如果课外活动搞得少，那么会影响学生知识面的拓宽(r→s)
  • 或者课外活动搞得多，或者课外活动搞得少(pvr)
  • 所以：要么影响学生基础课学习，要么影响学生知识面的拓宽(qvs)
  • 错误：第三个前提不真实

1.概念

1.1导论

• 概念是反映事物本质属性的思维形式
• 事物的属性是指事物的性质以及事物之间的关系
• 事物的属性分为：本质属性和非本质属性
  • 本质属性：是事物区别于其他事物的属性，有决定性质
  • 非本质属性 ：事物的分类、归属，并不具有决定性

1.2概念的内涵和外延

• 概念的内涵：反映在概念中的思维对象所具有的本质属性

• 概念的外延：具有概念反映的本质属性的全部对象，是概念的对象范围和数量（概念的实例化对象）

• 内涵和外延有反变关系：内涵越多外延越少，内涵越少外延越多

• 概念的限制：是指通过增加概念的内涵以缩小概念的外延的逻辑方法
• 概念的概括：是指通过减少概念的内涵来扩大概念的外延的逻辑方法

1.3概念的种类

• 单独概念：反映某一个事物的概念，他的外延仅指一个单独的对象
  • 普遍概念：反映两个以上对象的概念，一般用词语中的普遍名词、动词、形容词表达
  • 空概念：反映的对象是一个空的
  • 集合体：由一个一个事物所构成的整体，具有构成他的个体所不具有的属性
  • 集合概念：把对象事物作为一个不可分割的整体加以反映的概念
  • 非集合概念：指不把对象事物作为一个不可分割的整体加以反映的概念（可以分割）
  • 同一个概念因为语境的不同可以使集合概念也可以是非集合概念
  • 正概念：是反映对象具有某种属性的概念
  • 负概念：是反映对象不只有某属性的概念

1.4概念外延的关系

• 相容关系
  • 同一关系：两个概念的外延完全重合
  • 属种关系：一个概念的外延重合在另一个概念的外延中，并且仅仅是另一个外延的一部分，则这两个概念之间的关系是属种关系
    • 真包含
    • 真包含于
  • 交叉关系：是指一个概念的部分外延与另一个概念的部分外延重合的关系。
• 不相容关系
  • 矛盾关系：是指同一属概念下的两个具有不相容关系的种概念，如果其外延之和等于属概念的全部外延，则这两个概念的关系是矛盾关系。也即A+B=C。
  • 反对关系：是指同一属概念下的两个具有不相容关系的种概念，如果其外延之和小于属概念的全部外延，则这两个概念间的关系是反对关系。也即A+B<C

1.5定义

• 定义是揭示概念内涵的逻辑方法

• 从结构上，定义由被定义项（Ds），定义联项和定义项（Dp）三部分组成
  定义结构：Ds就是Dp
• 属加种差定义法

  • 结构：被定义项 = 种差 + 临近的属概念
    种差：种差是被定义项所指向对象区别于其他对象所特有的属性（对象的本质属性）

    邻近的属概念

  • 类型

    1. 性质定义：以事物的性质为种差的定义
    2. 发生定义：以事物形成的方式或方法为种差的定义
    3. 关系定义：以事物间的关系为种差定义
    4. 功用定义：以事物的功能为种差的定义
• 语词定义法
  1. 说明性语词定义
  2. 规定性语词定义
  • 语词定义法的适用场合：1. 古语 2. 用符号和公式表达复杂概念 3.
    使用新语词 4. 在新的意义上使用旧语词 5. 确定虚幻概念的含义
• 定义的规则
  1. 定义的外延必须与被定义项的外延全通（两者是同一关系），否则犯定义过宽，或定义过窄的错误
  2. 定义不能直接或间接包含被定义项，否则“循环定义”
  3. 定义不能使用含混的言辞或比喻
  4. 只要能是肯定的，定义就不应当是否定的

1.6划分

• 概念的划分：把一个属概念按照一定的标准分为若干个种概念，以揭示概念外延的逻辑方法
• 划分分为：母项、子项、划分依据
• 划分与分解
  • 分解：把一个事物划分为若干部分，被分解对象和分解后的对象之间是整体与部分的关系，部分不具有整体的属性
  • 划分：被划分的概念之间是种属关系，划分后概念具有被划分概念的属性
  • 分类一定是划分
  • 划分的类型
    1. 二分法、多分法
    2. 一次划分、连续划分
  • 划分的规则:
    1. 划分必须相应相称：划分的子项之和必须等于母项，不能多出子项或者划分不全
    2. 在同一次划分中标准必须同一，否则混淆根据错误
    3. 划分后子项应该是排斥的
    4. 划分不能越级

2.直言命题

2.1含义与结构

• 直言命题的含义：判断一类对象的全部或部分是否包含在另一类对象之中的命题
• 直言命题的构成：
  1. 逻辑常项
     • 量项
       1. 全称量项 —— 所有
       2. 特称量项 —— 有些
     • 联项
       1. 肯定联项 —— 是
       2. 否定联项 —— 不是
  2. 逻辑变项
     • 主项 —— S
     • 谓项 —— P

2.2直言命题的种类

• A：全称肯定命题
• E：全称否定命题
• I：特称肯定命题
• O：特称否定命题
• 直言命题和单称命题：单称命题是主项是单称概念（中国）的命题，传统逻辑学认为单称命题是一种全称命题，现代逻辑学认为，所有单称命题不是直言命题，而是一种特殊的命题

2.3直言命题的逻辑特征

• 常项的逻辑特征：“质”&“量”
  • 质：指联项：肯定和否定
  • 量：指量项：全称和特称
• 变项的逻辑特征：周延性
  • 周延性：指在直言命题中对主项和谓项外延的断定情况
  • 主项的周延性是根据量项决定的，量项是全称量项则主项是周延的
  • 谓项的周延性是根据命题的联项决定的，联项是否定的则谓项是周延的

2.4直言命题的对当关系

• 矛盾关系：真值相反
• 返回关系：至少一假
• 下反对关系：至少一真
• 差等关系：全称真则特称真，特称假则全称真
• 注意事项：
  1. 对当关系是同素材的四种直言命题之间的真假关系
  2. 直言命题间的反对关系、下反对关系和差等关系，都以主项存在设为先决条件
  3. 矛盾关系优先原则

2.5对当关系的直接推理

SAP→SIP

SEP→SOP

¬SIP→¬SAP

¬SOP→¬SEP

2.6 换质法和换位法

• 换质法：通过改变直言命题的质，并且同时否定这个直言命题的谓项，而得到一个新的直言命题的推理方法
  • 步骤：1. 改变直言命题的质 2.否定原直言命题的谓项
  • SAP→SE¬P
• 换位法：通过交换一个直言命题中的主项和谓项的位置而得到一个新的直言命题的推理方法。
  • 步骤：1. 只交换直言命题中的主、谓项的位置，不改变他的质 2.
    换位前不周延的项，换位后仍不得周延（如果原P是一个不周延的项，S是一个周延的项，则把P换到前面时需要改变量，来保证P的不周延性）
  • O 命题没有换位命题

3.直言三段论

3.1直言三段论的含义与特征

• 含义：由两个包含一个共同项的直言命题推出一个新的直言命题的演绎推理

• 大项、主项、中项各会出现两次

• 前提中出现了两次，结论中没有出现的——中项 结论中主项位置——小项
  结论中谓项的位置——大项

• 前提中出现小项的前提：小前提
  前提中出现大项的前提：大前提

• 成立条件：

  1. 三段论中的三个直言命题都是标准形式的直言命题
  2. 三段论中的三个直言命题按大前提、小前提、结论的顺序排列

• 基本使用
  非标准三段论：依法办事不是教条主义，因为依法办事是坚持原则
  三段论形式，缺少了一个前提 结论：依法办事不是教条主义
  前提1：依法办事是坚持原则
  此处小前提（依法办事）已经出现了两次，大前提（教条主义只出现了一次），因此隐藏的前提2中有一个教条主义，前提1中有一个中项（坚持原则），因此前提2中会出现一个坚持原则

  标准三段论： 教条主义不是坚持原则 依法办事是坚持原则
  所以依法办事不是教条主义

• 注意：

  1. 包含单称命题做前提或结论的推理不是直言三段论
  2. 不是直言命题的推理不是直言三段论
  3. 包含四个项的推理不是直言三段论

3.2 直言三段论的公理与规则

• 公理：凡是肯定或否定了一类对象的全部，也就肯定了或否定了这一类对象的任何部分对象
• 规则(判断直言命题是否有效的标准)：
  1. 中项在前提中至少要周延一次
  2. 在前提中不周延的项在结论中不得周延
  3. 两个否定的前提得不出结论
  4. 如果结论否定，则前提必有一否定
  5. 补充规则：两个全称的前提不能得出特称的结论（针对空概念）

3.3直言三段论的格

• 第一格

  1. 小前提一定为肯定 证明：
     如果小前提为假，则结论一定为假（前提当中有一否定，则结论必为否定），则P一定是周延的（联项是否定的则谓项是周延的）。

     小前提为假则S-M一定为假，则M-P一定为真（两个否定的前提得不出结论），则P一定是不周延的（联项是肯定的则谓项是不周延的）。至此，P的周延性发生了冲突，所以小前提为假不存在

  2. 大前提必全称

• 第二格

  1. 前提中必有一否定
     证明：中项为两个前提的谓项，中项必须周延一次，谓项周延则质必为否定，则两个前提必有一否定
  2. 大前提必是全称
     证明：大前提如果不为全称，则P不周延，则结论必为肯定。
     前提一定有一否定，则结论必为否定 冲突

• 第三格

  1. 小前提必肯定
     证明：如果小前提为否定，则M-S是否定的，则结论是否定的，则P是周延的。
     则M-P是肯定的，则P是不周延的 则冲突
  2. 结论必特称
     证明：小前提是肯定的，则M-S是肯定的，则S是不周延的，所以结论的S也是不周延的，所以结论是特称命题
  3. 两个前提必有一个全称
     证明：M作为主项，M必周延一次，则主项必周延一次，则前提必有一个全称

• 第四格

  1. 若大前提为肯定，则小前提为全称
  2. 若小前提为肯定，则结论必为特称
  3. 若前提有一否定，则大前提必全称
  4. 任何一个前提都不能是特称否定
  5. 结论不能是全称肯定的

• 三段论总规则和格的规则

  • 三段论总规则：若符合总规则，则有效，若不符合总规则，则必无效
  • 格的规则：若符合总规则，不一定有效，若不符合格规则，则必无效

3.4直言三段论的式

• AAA 的 意思是 大前提是A命题、小前提是A命题、结论是A命题

4.复合命题

复合命题和简单命题的区别： 简单命题是依靠生活经验和事实进行推理，复合命题更依靠逻辑判断

4.1 复合命题的含义与构成

• 含义：是包含其他命题作为组成成分的命题

• 组成：
  • 支命题：组成复合命题的成分命题，用英文字母p、q、s表达，在逻辑学中称为命题变元
  • 联结词：将各个支命题联结起来的成分，又称真值联结词，用符号 ¬ 、→ 、↔︎
    、 ∧ 、 ∨ 等表达
  • ¬ (否定)：表示对一个命题的否定。
  • → (蕴含)：表示如果第一个命题为真则第二个命题也为真。
  • ↔︎ (双向蕴含)：表示两个命题必须同时为真或同时为假。
  • ∧ (合取)：表示两个命题都为真时，复合命题才为真。
  • ∨ (析取)：表示两个命题中至少有一个为真时，复合命题就为真。
  • ⊻（不包容析取）：表示两个命题不能同时为真，至少有一个为假时，复合命题就为真。
• 特点：
  1. 复合命题的最小分析单位是命题
  2. 复合命题断定事物情况之间所具有的的各种关系
  3. 复合命题的真值由支命题的真值和联结词的含义共同决定

4.2 复合命题的种类

• 负命题

  • 命题形式：并非P 符号形式： ¬P
    逻辑性质：负命题的真值与支命题的真值是相反的

    联结词：
    标准：并非
    常用：不是、是假的、是不成立的、是荒谬的
    

• 联言命题：是判断若干事物情况之间具有共存关系的命题

  • 命题形式：p并且q 符号形式：p ∧ q （p 合取 q）
    逻辑性质：当所有联言支都真时，联言命题为真，而只要有一个联言支假，联言命题就假

    联结词：
    标准：并且
    常用：与、即...又... 、 不仅...而且... 、虽然...但是... 、 前线...后来...
    

• 选言命题：是断定若干事物情况具有选择关系的复合命题。选言命题分为相容选言命题和不相容选言命题

  1. 相容选言命题：是断定若干种事物情况至少有一种存在的选言命题

     • 命题形式：p或者q 符号形式： p v q（p 析取 q）
       逻辑性质：当至少有一选言支真，相容选言命题为真，只有在所有选言支为假时，相容选言命题才假（不排斥p和q同时发生的情况）

       联结词：
       标准：或者
       常用：也许...也许 、 可能...可能...
       

  2. 不相容选言命题：是断定几种事物情况中有且只有一个存在的复合命题

     • 命题形式：要么p，要么q 符号形式：p v(加个点) q(p不相容析取q)
       逻辑形式：当只有唯一
       一个选言支为真时，不相容选言命题为真；而当多于一个或没有一个选言支为真时，不相容选言命题为假

       联结词：
       标准：要么...要么...
       常用：不是...就是... 、 或者...或者...,二者不可得兼
       

• 假言命题：是判断若干种事物情况之间具有条件关系的命题。分为充分条件假言命题、必要条件假言命题和充分必要假言命题

  1. 充分条件假言命题：是断定一种事物情况是另一种事物情况的充分条件的假言命题

     • 命题形式：如果p，那么q 符号形式：p→q（p蕴含q）
       逻辑形式：只有在前件为真，后件为假时才是假的，其余情况下都是真的

       联结词：
       标准：如果...那么...
       常用：只要...就... 、假如...则... 、 一旦...就会... 、 当...便...
       

  2. 必要条件假言命题：是断定一种事物的情况是另一种事物情况的必要条件的假言命题

     • 命题形式：只有p，才q 符号形式：q→p（q 蕴含 p）
       逻辑形式：只有在前件为真而后件为假时才是假的，其余情况都是真的

       联结词：
       标准：只有...才...
       常用：除非...否则不... 、 没有...就没有... 、 如果不...那么不...
       

  3. 充分必要条件假言命题：是断定事物情况使=是另一种事物情况的充分必要条件的假言命题。

     • 命题形式：当且仅当p，才q 符号形式：p↔︎ q（q 等值于 p）
       逻辑形式：当前件和后件的真值相同时为真，当前件和后件的真值不同时则为假

       联结词：
       标准：当且仅当...才...
       常用：有...就有...  、 无...必无...
       

4.3真值表方法和归谬赋值法

• 复合命题根据真值的不同可以分为重言式、矛盾式、协调式

  • 重言式：在所包含的命题变元的所有可能的真值取值的场合，他都具有真的真值（永远是真的）
  • 矛盾式：在命题变元的所有可能的真值组合取值的场合，他都具有假的真值（永远为假）
  • 协调式：在所包含的命题变元的所有可能的真值取值的场合，他的真值有真有假（有真有假）

• 真值表方法：是以复合命题为基本命题形式的真值表为基础，通过逻辑运算，确定任何一个复合命题的真值的逻辑方法，真值表方法是研究复合命题的有效工具

  步骤： 例：(pvq) →(p∧q)

  1. 确定初始列，初始列的个数由命题个数确定
     如果只有两个支命题，则p列一分为二，一半写真一半写假，q列一分为二，按真假真假重复写

     p	q
     T	T
     T	F
     F	T
     F	F

  2. 确定不同层次的结束列 结束列的个数由联结词的个数决定

     p	q	（pvq）	（p∧q）	(pvq) →(p∧q)
     T	T
     T	F
     F	T
     F	F

  3. 依据各个支命题的真值和联结词的逻辑含义计算出各个结束列的真值

     p	q	（pvq）	（p∧q）	(pvq) →(p∧q)
     T	T	T	T	T
     T	F	T	F	F
     F	T	T	F	F
     F	F	F	F	T

• 归谬赋值法：用来判定蕴涵式是否是重言式的方法，只需计算出假定蕴涵式为假时命题变元应有的一组真值取值
  步骤：

  1. 假定判断的蕴涵式是假的
  2. 由整体到局部，依照所包含联结词的逻辑含义，给不同层次的支命题指派真值，直至给出命题变元的一组真值指派
  3. 根据命题变元的真值指派是否包含矛盾，得出蕴涵式是否重言式结论

  使用：

  • 判定（ (p v q）→ r ) → ( p →( ¬ q v r ) ) 是否为重言式

    (0 （ (p v q ）→ r ) → ( p →( ¬ q v r ) ) #[注：每个 ·表示一个字符]

    (1 ( ( · · ·) · · ) F ( · · ( · · · ·) ) #假定这个命题是假的

    (2 ( ( · · ·) T · ) F ( · F ( · · · ·)
    )#蕴含式只有在前真后加的情况下才为假

    (3 ( ( · · ·) T · ) F ( T F ( · · F ·)
    )#蕴含式只有在前真后加的情况下才为假

    (4 ( ( · · ·) T · ) F ( T F ( · T F F)
    )#后件要是假，析取为假，则两个析取支为假 q=真 ，
    r=假（根据后件来说）

    (5 ( ( · · ·) T · ) F ( T F ( · · F ·) )# 前件要是真，因此，q=真
    时，r!=假 （根据前件来说）

    出现自相矛盾，说明假设不成立，说明命题是重言式

4.4 常见的重言等值式

• 双重否定律：¬¬p等价于p
• 恒等律：p∨p等价于p，p∧p等价于p
• 改变量词顺序律：p∨q等价于q∨p，p∧q等价于q∧p
• 结合律：(p∨q)∨r等价于p∨(q∨r)，(p∧q)∧r等价于p∧(q∧r)
• 分配律：p∨(q∧r)等价于(p∨q)∧(p∨r)，p∧(q∨r)等价于(p∧q)∨(p∧r)
• 归纳律：p∧(p∨q)等价于p，p∨(p∧q)等价于p
• 对偶律：¬(p∧q)等价于¬p∨¬q，¬(p∨q)等价于¬p∧¬q
• 德摩根律：¬(p→q)等价于p∧¬q，¬(p↔︎q)等价于p↔︎¬q
• 同位律：(p→q)∧(p→r)等价于p→(q∧r)，(p→r)∧(q→r)等价于(p∨q)→r
• 摩根律：(p→r)∨(q→r)等价于(p∧q)→r，(p→q)∨(p→r)等价于p→(q∨r)
• 零律：p∨¬p等价于真，p∧¬p等价于假

5.命题逻辑

5.1 常见复合命题推理

• 联言推理
  • 合成式
    p q 所以p∧q
  • 分解式
    p∧q p 所以q
• 选言推理
  pvq ¬p 所以q
• 假言推理
  p→q p 所以 q

• 等值推理
  p↔︎q p 所以 q

• 二难推理
  • 简单构成式
    p→r q→r p∨q 所以 r
  • 复杂构成式
    p→q r→s p∨r 所以，q∨s
  • 简单破坏式
    p→q p→r ¬q∨¬r 因此，¬p
  • 二难推理一般用于人们的辩论，破斥二难推理的方法
    1. 推理形式无效
    2. 前提不真实
    3. 构造一个与二难推理结论相反的二难推理

5.2推理规则及其运用

• 八条推理规则
  1. 肯定前件规则：如果 p → q 为真且 p 为真，则 q 为真。逻辑符号：(p ∧ (p → q)) → q
  2. 否定后件规则：如果 p → q 为真且 q 为假，则 p 为假。逻辑符号：((p → q) ∧ ¬q) → ¬p
  3. 简化规则 ：如果 p ∧ q 为真，则 p 为真。逻辑符号：(p ∧ q) → p
  4. 合取规则 ：如果 p 为真且 q 为真，则 p ∧ q 为真。逻辑符号：(p ∧ q) → (p ∧ q)
  5. 选言三段论规则：如果 p ∨ q 为真且 p 为假，则 q 为真。逻辑符号：((p ∨ q) ∧ ¬p) → q
  6. 二难推理规则 ：如果 (p → q) ∧ (r → s) 为真且 p ∨ r 为真，则 q ∨ s 为真。逻辑符号：((p → q) ∧ (r → s) ∧ (p ∨ r)) → (q ∨ s)
  7. 附加规则：如果 p 为真，则 p ∨ q 为真。逻辑符号：p → (p ∨ q)
  8. 等值替换规则 ：如果 p ≡ q 为真，则可以在任意公式中将 p 替换为 q 或将 q 替换为 p。逻辑符号：(p ≡ q) → ((r(p)) ≡ (r(q)))
• 例题：
  • 如果政府提高工资或提高物价，那么会发生通话膨胀，如果发生通货膨胀，则要么政府限制通货膨胀或者老百姓利益受损，如果老百姓利益受损，那么政府的威信就会降低，政府没有限制通货膨胀而且威信也没有降低，所以政府没有提高工资，试证明政府没有提高工资
  • 解：设政府提高工资为p，政府提高物价为q，发生通话膨胀为r，政府限制通货膨胀s，老百姓利益受损m,政府的威信就会降低n，
  • 已知条件
    1. （p v q） → r
    2. r → (s v m)
    3. ¬s ∧ ¬n
    4. m → n
  • 根据推理规则推理
    1. 想得到¬p，则(p v q) 为假，并且q为假
    2. 需要得到(p v q) 为假，则r必须为假
    3. 此时r出现在r → (s v m)，r需要为假，则 (s v m)必须为假
    4. (s v m)必须为假，则s和m必须都为假
    5. 由条件4得到¬s和¬n
    6. 由于¬n所以得到¬m
    7. 得到推理4所需要的条件
    8. 反证上去

6.谓词逻辑

6.1 谓词、个体词和量词

作用：用于解决又不适用直言三段论，又不适用于命题逻辑的推理，是对前两者的扩展，谓词逻辑最终将一个简单命题最终分解为谓词，量词，个体词

• 例：
  • 如果一个学生天资聪明或平时用工，那么他学习成绩不会差
  • 张三是学生，天资聪明且平时用工
  • 所以有些学生的学习成绩不会差
  • 这个逻辑乍一看没问题，但却无法用直言三段论和命题逻辑证明其有效性
• 谓词：用英文的大写字母来表示
  • 在谓词逻辑中，世界上只存在具有某种属性的单个的事物，而不存在所谓的事物的类，例如人、学生、动物等在谓词逻辑中是被当做许多个体所共同拥有的属性来看待的，类被处理成谓词
• 个体词
  • 个体变元：用小写字母x，y，z表示
  • 个体常元：用除x，y , z的小写字母表示
• 量词
  • 全程量词：通常用符号 ∀，表示 "对所有" 或 "对每一个"
  • 存在量词：通常用符号 ∃，表示 "存在" 或 "至少有一"
• 举例
  • 曹雪芹是文学家，将属性（文学家）表示成谓词，曹雪芹是一个不变的个体，表示为个体常元，故符号表达为：W(c)
  • 地球是圆的，圆的是属性，地球是个体常元，表达为Y(d)
  • 如果《红楼梦》不是文学名著，那么曹雪芹就可能不被人知，¬W（h）→ ¬B（c）

• 表达命题的一般规则
  • 单称命题：用谓词和个体常元来表示
  • 全称命题：用全称量词、个体变元和一个蕴含式表达
  • 特称命题：用存在量词、个体变元和一个合取式来表达
• 例：
  • 苹果和梨都是水果 ∀x（（p（x） v L（x））→ S(x)）
  • 所有的事物都是运动的 ∀x Y（x）
• 一个包含有自由出现的个体变元的公式称之为命题函项，由于命题函项有个体变元的自由出现，所以命题函项没有真值

6.2 量词的消去和引入规则

作用：为了使命题规则能够在谓词逻辑中使用，所以要制定量词规则，就是为了在谓词逻辑中去掉名词

量词规则

• 全称实例化规则
• 全称概括规则
• 特称实例化规则
• 特城概括规则

谓词逻辑推理思路

• 将推理符号化
• 应用量词消去规则消去量词
• 应用命题逻辑推理出不含量词的结论
• 应用量词规则引入规则引入量词

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